Pembahasan Bahan Logika Matematika Dan Pola Soal
LOGIKA MATEMATIKA
Logika matematika merupakan salah satu cabang dalam ilmu matematika. Materi Logika Matematika sebetulnya sangat berkaitan dalam kehidupan sehari-hari. Dengan Logika Matematika memberi kita citra cara untuk mengambil keputusan. Disini dalam mempelajari Logika Matematika kita diajari bagaimana cara untuk merumuskan duduk kasus serta kemampuan untuk memilih kesimpulan. Jika dituntut jikalau ada permasalahan, harus bisa menetukan apakah itu benar atau salah.
Berikut akan kita ulas bahan Logika Matematika
A. Pernyataan
Pernyataan ialah suatu kalimat atau pernyataan yang mempunyai nilai kebenaran benar atau salah, tetapi tidak sekaligus keduanya benar dan salah. Suatu pernyataan tidak bisa disebut pernyataan jikalau tidak sanggup diambil kesimpulan benar atau salah serta bersifat relatif.
Pernyataan dalan Logika matematika dibedakan menjadi pernyataan ternuka dan tertutup.
Pernyataan terbuka yaitu kalimat pernyataan yang belum sanggup ditentukan nilai kebenarannya. apakah itu benar atau salah belum bisa ditentukan.
Pernyataan tertutup yaitu kalimat pernyataan yang telah sanggup dipastikan nilai kebenarannya. Bisa berupa benar bisa juga salah.
Contoh :
1. Aku lebih tinggi dari kakakku
Belum bisa dipastikan nilai kebenarannya, harus dibuktikan terlebih dahulu. Maka disebut pernyataan terbuka.
2. Kota Semarang berada di Jawa tengah (Benar)
Pernyataan ini sudah bisa dipastikan nilai kebenarannya. Pernyataan ini disebut pernyataan tertutup
3+8= 10
Disebut pernyataan tertutup, lantaran sanggup dipastikan nilai kebenarannya yaitu salah.
B. Negasi atau Ingkaran
Negasi atau ingkaran yaitu kalimat yang isinya berupa ingkaran atau bantahan atau sanggahan.
Negasi sanggup dibentuk dengan cara memberi kata “Tidak, Tidak benar bahwa, bukan” yang berada di depan suatu pernyataan.
Negasi disimbolkan ( p)
Negasi juga bisa diartikan sebuah pernyataan p bernilai benar, maka bentuk negasinya ( p) yang bernilai salah. Jika p bernilai salah, maka negasinya p bernilai benar.
Contoh :
1. 11 ialah bilangan prima ganjil (B)
Negasi : 11 bukan bilangan prima ganjil (S)
2. Bebek ialah binatang berkaki empat (S)
Negasi :Bebek bukan binatang berkaki empat (B)
Dalam tabel kebenaran, negasi sanggup dibentuk sebagai berikut
| p | p |
| B | S |
| S | B |
C. Pernyataan Majemuk
Dalam kebijaksanaan Matematika, pernyataan beragam terdiri dari Konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi.
1. Konjungsi
Konjungsi ialah dua kalimat pernyataan yang digabungkan dengan menggunakan kata penghubung “Dan” Konjungsi sanggup disimbolkan (∧). Makara sanggup ditulis : p ∧ q, dibaca p dan q.
Tebel kebenaran
| p | q | p ∧ q |
| B | B | B |
| B | S | S |
| S | B | S |
| S | S | S |
Berdasarkan tabel, sanggup diambil kesimpulan, suatu pernyataan konjungsi bernilai benar jikalau kedua pernyataan tersebut bernilai benar.
Contoh :
p : 4 ialah bilangan prima ------> Salah
q : 2 + 8 = 10 ----> Benar
p ∧ q : 4 ialah bilangan prima dan 2 + 8 = 10 -------> salah
2. Disjungsi
Dua pernyataan sanggup pula digabung dengan menggunakan kata penghubung lain. Dua kalimat pernyataan , jikalau digabungkan dengan menggunakan kata penghubung atau maka disebut disjungsi, dilambangkan p ∨ q (dibaca p atau q)
Tabel kebenaran Disungsi
| p | q | p ∨ q |
| B | B | B |
| B | S | B |
| S | B | B |
| S | S | S |
Berbeda dengan konjungsi, dalam disjungsi, jikalau salah satu pernyataan bernilai benar, maka disjungsinya juga bernilai benar, hal ini disebabkan lantaran disjungsi menggunakan konsep “atau”.
Contoh :
p : 4+7 >20 (S)
q : 4+7 =11(B)
p ∨ q : 4+7 >20 ∨ 4+7 =11 -----------> benar.
3. Implikasi
Implikasi ialah Logika matematika yaitu menggabungkan dua pernyataan dengan menggunakan “kata jikalau .... maka...” atau konsep kesesuaian. Dilambangkan (↔), sanggup ditulis p↔q, (dibaca Jika p maka q)
Tabel Kebenaran Implikasi
| p | q | p→q |
| B | B | B |
| B | S | S |
| S | B | B |
| S | S | B |
Contoh :
1. p : Budi bersekolah di Sekolah Menengah Pertama N Banjarnegara
q : Budi bersegaram Putih Biru
p→q : Jika Budi bersekolah di Sekolah Menengah Pertama N Banjarnegara maka Budi bersegaram Putih Biru
2. p : Suatu segitiga ABC ialah segitiga siku-siku di B
q : sudut B = 90
p→q : Jika suatu segitiga ABC ialah segitiga siku-siku di B maka sudut B = 90
4. Biimplikasi
Dua kalimat pernyataan , yang digabungkan dengan menggunakan kata penghubung “jika dan hanya jika” dilambangkan p↔q. Dalam pernyataan biimplikasi p↔q dibaca “Jika p maka q dan jikalau q maka p”. Suatu abungan pernyataan sanggup disimpulkan benar, jikalau kedua pernyataan itu sama-sama berar, atau sama-sama salah. Dan Biimplikasi bernila salah, jikalau hanya salah satu saja yang bernilai benar atau hanya salah satu saja yang bernilai salah.
Tabel kebenaran untuk pernyataan biimplikasi
| p | q | p↔q |
| B | B | B |
| B | S | S |
| S | B | S |
| S | S | B |
Contoh :
1. p∶ a^2≥0, jikalau dan hanya jikalau 1^0=1
q∶ a^2<0 jikalau dan hanya jikalau 1^0=1
p↔q∶ “ a^2≥0, jikalau dan hanya jikalau 1^0=1 jikalau dan hanya jikalau a^2<0 jikalau dan hanya jikalau 1^0=1
Pernyataan p mempunyai nilai kebenaran benar, dan pernyataan q bernilai salah, maka biimplikasi tersebut bernilai salah
*Ekuivalensi Pernyataan Majemuk*
Ekuivalensi Pernyataan Majemuk ialah dua pernyataan beragam yang mempunyai nilai kebenarannya. Kita juga sanggup mengetahui negasi dari konjungsi, disjungsi, implikasi serta biimplikasi. Ekuivalensi Pernyataan Majemuk ditunjukan sebagai berikut :
1. (p∧q)≡ p∨ q
2. (p∨q)≡ p∧ q
3. p∧(q∨r)≡(p∧q)∨(p∧r)
4. p∨(q∧r)≡(p∨q)∧(p∨r)
5. p→q≡p∨∼q
6. ∼(p→q)≡p∧∼q
7. p↔q≡(p→q)∧(q→p)≡(∼p∨q)∧(∼q∨p)
8. ∼(p↔q)≡(p∧∼q)∨(q∧∼p)
9. p→q≡∼q→∼p
10. q→p≡∼p→∼q
D Konvers, Invers dan Kontraposisi
Konsep konvers, Invers dan Kontraposisi diperoleh dari konsep implikasi. Hal ini menimbulkan setiap pernyataan implikasi mempunyai sifat konvers, invers dan kontraposisi.
Dari sebuah pernyataan implikasi p→q sanggup diperoleh :
Konvers : q→p
Invers : ∼p→∼q
Kontraposis : ∼q→∼p
Berikut tabel kebenaran Konvers, invers dan Kontraposisi
| p | q | ∼p | ∼q | p→q | Konvers q→p | Invers ∼p→∼q | Kontraposisi ∼q→∼p |
| B | B | S | S | B | B | B | B |
| B | S | S | B | S | B | B | S |
| S | B | B | S | B | S | S | B |
| S | S | B | B | B | B | B | B |
Dari tabel kebenaran diatas sanggup dilihat jikalau terdapat pernyataan yang ekuivalen
p→q≡∼q→∼p
q→p≡∼p→∼q
Contoh :
1. Tentukan pernyataan konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan implikasi berikut : “Jika kau rajin membaca maka kau berwawasan luas”.
Jawab :
Konvers : q→p : Jika kau berwawasan luas maka kau rajin membaca.
Invers : ∼p→∼q : Jika kau tidak rajin membaca maka kau tidak berwawasan luas.
Kontraposis : ∼q→∼p : Jika kau tidak berwawasan luas maka kau tidak rajin membaca.
Carilah negasi dari:
p∧q
p∨q
p→q
Jawab :
Tabel kebenaran :
| p | q | ∼p | ∼q | p∧q | p∨q | ∼(p∧q) | ∼(p∨q) | ∼p∨∼q | ∼p∧∼q | p→q | ∼ | p∧∼q |
| B | B | S | S | B | B | S | S | S | S | B | S | S |
| B | S | S | B | S | B | B | S | B | S | S | B | B |
| S | B | B | S | S | B | B | S | B | S | B | S | S |
| S | S | B | B | S | S | B | B | B | B | B | S | S |
Dari tabel kebenarann diatas, sanggup menandakan beberapa pernyataan yang ekuivalen
(p∧q)≡ p∨ q
(p∨q)≡ p∧ q
∼(p→q)≡p∧∼q
E. Kuantor Uni∨ersal dan Eksistensial dan Negasinya
Kuantor yaitu sebuah ungkapan jikalau diterapkan pada kalimat terbuka dengan satu variabel maka kalimat terbuka tersebut sanggup berkembang menjadi kalimat tertutup. Disini pernyataan kuantor mengandung konsep kuantitas. Ada dua jenis kuantor dalam kebijaksanaan matematika yaitu kuantor universal dan kuantor eksistensial.
1. Kuantor Uni∨ersal atau Kunator Umum (Uni∨ersal Quantifier)
Ungkapan yang menggunakan konsep semua atau setiap dilambangkan “∀x".
“Untuk semua x, berlaku Mx” sanggup dinotasikan menjadi : “(∀x)Mx”
Dikarenakan terdapat kuantor “∀x" maka mengakibatkan Mx menjadi kalimat tertutup.
Contoh :
1. Semua siswa sedang belajar.
(∀x)[2x+3>0] maka dibaca:
“Untuk semua x, berkalu [2x + 3 > 0]” (B)
Nilai kebenaran teladan b ialah benar.
2. Kuantor eksistensial
Kuantor eksistensiala dalah Ungkapan yang menggunakan konsep ada, sebagian, terdapat, beberapa, ada sedikitnya satu x. Dilambangkan "∃x".
Dapat diartikan :
“ ada (sebagian) x, sehingga berlaku Mx” dinotasikan dengan (∃x)Mx.
Contoh :
1. Ada siswa yang tidak belajar
(∃x)(2x+1=0) dibaca : Ada x sehingga 2x + 1 = 0 (salah).
Nilai kebenaran dari teladan b ialah salah.
Negasi dari pernyataan berkuantor :
∼(∀x)Mx≡(∃x)∼Mx
∼(∃x)≡(∀x))∼Mx
Contoh :
Tentukan Negasi / ingkaran dari pernyatakan dibawah ini :
a. Semua wanita berambut panjang.
b. Semua bilangan cacah ialah bilangan Real (B).
c. Ada bilangan prima berupa bilangan genap (B)
d. Semua siswa tidak menggunakan kaos olahraga.
e. (∀x)(a^2-b^2)=(a+b)(a-b) ---------> (B)
f. (∃x)[(x^2+1=0] -----------> (S)
Jawab :
a. Ada Beberapa wanita beramput pendek (tidak panjang)
b. Ada bilangan cacah yang bukan bilangan Real (S)
c. Semua Bilangan Prima berupa bilangan ganjil (S)
d. Ada siswa yang menggunakan kaos olahraga.
e. (∃x)(a^2-b^2)≠(a+b)(a-b) ---------> (s)
f. (∀x)[(x^2+1≠0] -----------> (B)
F Silogisme, Modus Ponens dan Modus Tolens
Untuk melaksanakan pernarikan kesimpulan dari dua atau lebih pernyataan sederhana sanggup dilakukan dengan menggunakan Silogisme, Modus Ponens dan Modus Tolens. Hal ini sanggup dilakukan dengan menurunkan premis dengan rankaian argumen yang telah ∨alid.
Modus Pones
Bentuk Umum :
p→q
p
q
Contoh :
1. Jika kau rajin belajar, kau sanggup mengerjakan ulangan.
Kamu rajin mencar ilmu
Kamu dapatmengerjakan ulangan.
Modus Tolens
Bentuk Umum
q → p
∼q
∼p
Contoh :
Jika x bilangan genap, x habis dibagi 2
x tidak habis dibagi dua
x bukan bilangan genap
Silogisme
Bentuk Umum
p→q
q→r
p→r
Contoh :
Jika timnas Indonesia bermain baik, timnas Indonesia akan menang
Jika timnas Indonesia menang, ia akan menerima piala
Jika timnas Indonesia bermain baik, ia akan menerima piala
Semoga klarifikasi diatas cukup, dan sanggup membantu.
Jangan lupa terus belajar. Semanga
Sumber http://ngajimatematika.blogspot.com
0 Response to "Pembahasan Bahan Logika Matematika Dan Pola Soal"
Posting Komentar