✔ Transformasi Linear

A.    PENGANTAR TRANSFORMASI LINEAR

Dalam cuilan ini kita mulai mempelajari fungsi bernilai vektor dari sebuah peubah vektor. Yakni, fungsi yang berbentuk w = F(v), dimana baik peubahbebas v maupun peubah tak-bebas w ialah vektor. Kita akan memusatkan perhatian pada kelompok khusus fungsi vektor yang kita namakan transformasi linear. Kelompok fungsi ini memiliki banyak penerapan penting dalam fisika, bidang teknik, ilmu sosial, dan banyak sekali cabang matematika.

Jika V dan W ialah ruang vektor dan F ialah sebuah fungsi yang mengasosiasikan vektor unik di W dengan setiap vektor terletak di V, maka kita katakana Fmemetakan V ke dalam W, dan kita tuliskan F:VàW. lebih lanjut lagi, kalau F mengasosiasikan vektor w dengan vektor v, maka kita tuliskan w = F(v) dan kita katakan bahwa w ialah bayangan dari v di bawah F. ruang vektor V dinamakan domainF.

Untuk melukiskannya, kalau v = (x,y) ialah sebuah vektor di R², maka rumusnya

Mendefenisikan sebuah fungsi yang memetakan R² ke dalam R³. Khususnya kalau v = (1,1), maka x = 1 dan y = 1, sehingga bayangan dari v di bawah F ialah F(v) = (1,2,0) dengan demikian , domain F ialah R².

Defenisi, kalau F:V W ialah sebuah fungsi dari ruang vektor V ke dalam ruang vektor W, maka F kita namakan transformasi linear ( linear transformasi) jika

(i) F(u + v) = F (u) + F (v) untuk semua vektor u dan v di V.

(ii )F(ku) = kF(u) untuk semua vektor u di dalam V dan semua skalar k.

Untuk melukiskannya, contohnya F:R²àR³ ialah fungsi yang didefinisikan oleh pers. 1, , sehingga

           

Demikian juga, kalau k ialah sebuah skalar, ku = (kx₁, ky₁), sehingga

Jadi, F ialah sebuah transformasi linear.

Jika F:VàW ialah sebuah transformasi linear, maka untuk sebarang v₁ dan v₂ di V dan sebarang skalar k₁ dan k₂, kita peroleh

Demikian juga, kalau v₁, v₂, ……,v_n ialah vektor-vektor di V dan k₁, k₂,…….k_n ialah skalar, maka

Kita kini menunjukkan teladan lebih lanjut mengenai transformasi linear.

Contoh 1

Misalkan A ialah sebuah matriks m x n tetap. Jika kita memakai notasi matriks untuk vektor di R^m dan Rⁿ, maka sanggup kita defenisikan sebuah fungsi T :RⁿàR^mdengan :

T(x) = Ax

Perhatikan bahwa kalau x ialah sebuah matriks n x 1, maka hasil kali Ax ialah matriks m x 1 ; jadi T memetakan Rⁿ ke dalam R^m. lagi pula, T linear, untuk melihat ini, misalkan u dan v ialah matriks n x 1 dan misalkan k ialah sebuah skalar. Dengan memakai sifat-sifat perkalian matriks, maka kita dapatkan

Atau secara ekivalen

Kita menamakan transformasi linear pada teladan ini perkalian oleh A. Transformasi linear semacam ini dinamakan transformasi matriks.

Contoh 2

Sebagai kasus khusus dari teladan sebelumnya, contohnya  adalah sebuah sudut tetap, dan contohnya T : 2ⁿàR² ialah perkalian oleh matriks

Jika v ialah vektor

Maka

Secara geometris, maka  adalah vektor yang dihasilkan kalau v dirotasikann melalui sudut . Untuk melihat ini, maka misalkan  adalah sudut diantara v dan sumbu x positif, dan misalkan

Adalah vektor yang dihasilkan bila v dirotasikan melalui sudut  pada gambar di bawah. Kita akan menunjukkan . Jika r menyatakan panjangnya sebagai v, maka

                 

Demikian juga, sebab  mempunyai panjang yang sama ibarat v, maka kita peroleh

                     

Sehingga

Transformasi linear pada teladan ini kita namakan perputaran R² melalui sudut .

Contoh 3

Misalkan Vdan W ialah sebarang dua vektor. Pemetaan T : V à W sehingga T(v) = 0 untuk setiap v di V ialah sebuah transformasi linear yang kita namakan transformasi nol. Untuk melihat bahwa T linear, perhatikan bahwa

Maka

Contoh 4

Sebagai kasus khusus dari teladan sebelumnya, misalkan V = R³ memiliki hasil jail dalam euclidis. Vektor-vektor w₁ = (1, 0, 0) dan w₂ = (0, 1, 0) membentuk sebuah basis ortonormal untuk bidang xy. jadi, kalau v = (x, y, z) ialah sebarang vektor di R³, maka proyeksi orthogonal dari R³ pada bidang xy di berikan oleh

(x, y, z)

(x, y, z)

T(v)

x

y

v

Contoh 5

Misalkan V ialah sebuah ruang hasil kali dalam dan misalkan v₀ ialah sebarang vektor tetap di V. misalkan T : V  R ialah transformasi yang memetakan vektor v ke dalam hasil kali dalamnya dengan V₀ ; yakni

Dari sifat-sifat hasil kali dalam maka

Contoh 6

Misalkan V ialah sebuah ruang vektor berdimensi n dan S = ( w₁, w₂,…….., w_n) ialah sebuah basis tetap untuk V. Menurut Teorema 29 dari cuilan 4.10 maka sebarang dua vektor dan v di V sanggup dituliskan secara unik dalam bentuk

Jadi

Tetapi

Sehingga

Maka

Demikian juga, untuk matriks koordinat kita peroleh

Misalkan kita ambil T : V à Rⁿsebagai fungsi yang memetakan sebuah vektor v di V dimana vektor koordinatnya bersesuaian terhadap S ; yakni

Maka rumus-rumus di T, pada a dan b menyatakan bahwa

Dan

Jadi, T ialah transformasi linear dari V ke dalam Rⁿ.

B.     SIFAT TRANSFORMASI LINEAR : KERNEL DAN JANGKAUAN

Pada  bagian ini kita berbagi beberapa sifat dasar transformasi linear. Khususnya, kita menunjukkan bahwa sekali bayangan vektor basis di bawah transformasi linear telah diketahui, maka kita mungkin mencari bayangan vektor yang selebihnya dalam ruang tersebut.

Teorema 1.Jika T:V             W adalahtransformasi linier, maka : (a)    T(0)  = 0 (b)   T(-v) = -T(v) untuksemua v di V (c)    T(v-w) = T(v) – T(w) untuksemu v dan w di V.

 

Bukti, Misal v ialah sebarang vektor di V. Karena 0v = 0 maka kita peroleh

T(0) = T(0v) = 0T(v) = 0

Yang menandakan (a).

            Juga, T(-v) = T [(-1)v] = (-1)T(v) –T(v), yang menandakan (b).

            Akhirnya, v - w = v + (-1)w; jadi

T(v-w) = T(v + (-1)w)

= T(v) + (-1) T(w)

= T(v) – T(w)

Definisi.Jika T:V         W adalahtransformasi linear, makahimpuanvektor di V yang dipetakan T kedalam 0 kitanamakankernel (ruangnol) dari T; himpuantersebutdinyatakanolehker (T). Himpunansemuavektor di W yang merupakanbayangan di bawah T dari paling sedikitatauvektor di V kitanamakanjangkauandari T; himpunantersebutdinyatakanoleh  R(T).

 

                       

Teorema 2.Jika V:T       W adalahtransformasi linear, maka : (a)    Kernel dari T adalahsubruangdari  V. (b)   Jangkauandari T adalahsubruangdari W.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           

Bukti. 

(a)       Untuk memperlihatkan  bahwa ker(T) ialah subruang, maka kita harus menunjukkan bahwa  ker(T) tersebut tertutup di bawah pertambahan dan perkalian skalar. Misalkan v₁ dan v₂ ialah vektor-vektor  dalam ker(T), dan misalkan k ialah sebarang skalar. Maka

T (v₁ + v₂ )       = T(v₁) + T(v₂)

 = 0 + 0 = 0

Sehingga v₁ + v₂ berada dalam ker(T). Juga,

                                                T(k v₁) = kT(v₁) = k0 =0

Sehingga k v₁  berada dalam ker(T).

(b)           Misalkan w_{1 dan} w₂ adalah vektor  dalam jangkauan T. Untuk menandakan cuilan ini maka harus kita perlihatkan bahwa w₁ + w₂ dan k w₁ berada dalam jangkauan T untuk sebarang skalar k; yakni, kita harus mencari vektor a dan b di V sehingga T(a) = w₁ + w₂  dan T(b) = k w₁.

Karena w₁ dan w₂ berada dalam jangkauan T, maka vektor a₁ dan a₂ dalam V sehingga T(a₁) = w₁ dan T(a₂) = w₂. Misalkan a = a₁ +a₂ dan b = ka₁. Maka

                                    T(a) = T(ka₁) = kT(a₁) = kw₁

Yang melengkapkan bukti tersebut.

Definisi.Jika T:V         W adalahtransformasi linear, makadimensijangkauandari T dinamkanrankT, dandimensi kernel dinamakannulitas (nullity) T.

 

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               

Teorema kita berikutnya menghasilkan hubungan diantara rank dan nulitasn dari transformasi linear yang yang didefinisikan pada ruang vektor berdimensi berhingga. Kita akan menagguhkan buktinya sampai ke selesai cuilan ini.

Teorema 3: (TeoremaDimensi). Jika T:V W adalahtransformasi linear dariruang vector V yang berdimensi n kepadasebuahruang vector W, maka:             (rankdari T) + (nulitasdari T) = n……(5.4)

 

Dengan kata lain, teorema ini menyatakan bahwa rank + nulitas dari transformasi linear sama dengan dimensi domainnya.

            Dalam kasus-kasus ndimana V = Rⁿ , W = R^m , dan T:V à W merupakan perkalian oleh sebuah matriks A yang berukuran m x n , berikutnya dari (5.4) dan teladan lain diatas bahwa:

                                    Rank(A) = dim(ruang pemecahan Ax = 0) = n

Teorema 4. Jika A adalahmatriks m x n makadimensiruangpemecahandari Ax = 0 adalah n = rank(A)

Jadi, kita punya teorema berikut.

Jelasnya, teorema ini menyatakan bahwa dimensi ruang pemecahan Ax = 0 sama dengan jumlah kolom A kurang rank A.

PERNYATAAN. Karena system linear homogen Ax = 0 harus konsisten, berikutnya dari teorema 18. Bagian 4.6 bahwa rank matriks A sama dengan jumlah parameter dalam pemecahan Ax = 0. Dengan memakai hasil ini dengan teorema 4, selanjutnya dengan mengacu pada ruang pemecahan Ax = 0 akan sama dengan jumlah kolom A kurang jumlah parameter dalam pemecahan Ax= 0

Contoh

Pada teladan contoh sebelumnya kita telah menunjukkan bahwa system homogeny

                                    2x₁ + 2x₂ – x₃   +x₅ = 0

                                    -x₁ + x_{2 +} 2x₃ – 3x₄  + x₅ = 0

                                     X₁  +x₂ – 2x₃      - x₅ = 0

                                                  X₃  +  x₄  + x₅  = 0

Mempunyai ruang pemecahan berdimensi dua, dengan memecahkan system tersebut dan dengan mencari sebuah basis. Karena matriks koefisien

Sehingga rank (A) = 3. Anda sanggup mengusut hasil ini dengan mereduksi A pada bentuk eselon baris dan dengan menunjukkan bahwa matriks yang dihasilkan memiliki tiga baris tak 0.

Bukti teorema 3.

Kita harus menunjukkan bahwa

                                    Dim [R(T)] + dim [ker(T] + n

Kita akan menunjukkan bukti tersebut untuk kasus dimana 1≤dim[ker(T)≤. Kasus dim[ker(T)] = 0 dan dim [ker(T)] = n sengaja kami biarkansebagai latihan anda. Anggaplah dim [ker(T)] = r, dan misalkan v₁,…., v_r ialah sebuah basis untuk kernel tersebut. Karena {v₁,……,v_r} bebas linear, maka cuilan (c) dari teorema 11 dalam cuilan 4.5 menyatakan bahwa terdapat n-r vector, v_r+1,….v_n, sehingga {v₁, …, v_r, v_r+1, …,v_n} ialah sebuah basisi untuk V. untuk melengkapkan bukti tersebut, kita akan menunjukkan bahwa vector ke n-r dalam himpunan S= {T(v_r+1),…, T(v_n) membentuk sebuah basis untuk jangkauan T. maka jelaslah bahwa :

Mula-mula kita menunjukkan bahwa S merentang jangkauan T. kalau b ialah sembarang vector dalam jangkauan T, makan b = T(v) untuk suatu vector v dalam V. sebab {v₁, …, v_r, v_r+1, …,v_n} ialah basis untuk V, maka sanggup dituliskan dalam bentuk

Karena v₁,…, v_r terletak dalam kernel T, maka T(v₁) = … = T(v_r) = 0, sehingga

Jadi, S merentang jangkauan T.

            Akhirnya, kita menunjukkan bahwa S ialah sebuah himpunan bebhas dan sebagai konsekuansinya maka akan membentuk basis untuk jangkauan T. misalkan suatu kombinasi linear dari vector-vektor di S ialah nol; yakni,

Kita harus menunjukkan bahwa k_r+1 = … = k_n =0. Karena T linear,maka (5,5) sanggup dituliskan kembali sebagai

Yang menyampaikan bahwa k_r+1v_r+1 + … + k_nv_n = berada dalam kernel T. maka vector ini sanggup dituliskan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor basis {v₁, …, v_r} katakanlah,

Jadi,

Karena {v₁, …, v_n} bebas linear, maka semuanya k sama dengan nol; khususnya k_r+1 = … = k_n =0, yang melengkapi bukti tersebut .

Sumber http://amriesagala.blogspot.com

Share this post