Cara Menghitung Luas Segiempat Sembarang Dalam Lingkaran

Ilustrasi yang akan dibahas pada halaman ini dapat anda lihat pada gambar di atas. Saya mempunyai segiempat sembarang dalam lingkaran. Lalu aku ingin mencari luas segiempat tersebut (daerah yang diarsir).

Gambaran di atas dikenal juga dengan istilah segiempat tali busur. Bagaimana cara mencari atau menghitung luas segiempat tali busur tersebut?

Rumus menghitung Luas segiempat tali busur adalah:
$L = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}  \\ s = \frac{a+b+c+d}{2} $


Pembuktian rumus di atas sebagai berikut, (Perhatikan gambar di atas)
$PQ = a, \, QR = b, \, RS = c, \, SP = a \\ \text {perhatikan sudut Q dan S} \\ Q + S = 180^\circ \rightarrow S = 180^\circ- Q \\ \cos S = \cos (180^\circ - Q) \rightarrow \cos S = - \cos S \\ \sin S = \sin (180^\circ - Q) \rightarrow \sin S = \sin Q \\ \text {Cari PR pada segitiga QPR dan SPR dengan hukum Cos} \\  PR^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos Q \\ PR^2 = c^2 + d^2 - 2cd \cos S \rightarrow PR^2 = c^2 + d^2 - 2cd (-\cos Q) \\ \text {samakan PR=PR} \\ PR^2   = PR^2 \\ a^2 + b^2 - 2ab \cos Q   = c^2 + d^2 - 2cd (-\cos Q) \\ a^2 + b^2 - 2ab \cos Q   = c^2 + d^2 + 2cd \cos Q \\ \cos Q   = \frac{a^2 +b^2 - c^2 - d^2}{2(ab+cd)}$
Anda ingat bentuk faktor aljabar  $X^2 - Y^2 = (X+Y)(X-Y)$
Ingat juga identitas trigonometri: $\sin ^2 Q + \cos ^2 Q = 1 $

Misalkan: $ s = \frac{a+b+c+d}{2} $
$\begin{align} \sin ^2 Q & = 1  - \cos ^2 Q \\ \sin ^2 Q & = (1 + \cos Q )(1  - \cos Q) \\ & = \left(1 + \frac{a^2 +b^2  - c^2  - d^2}{2(ab+cd)} \right)\left(1  - \frac{a^2 +b^2  - c^2  - d^2}{2(ab+cd)} \right) \\ & = \frac{a^2 + b^2 + 2ab  - (c^2 + d^2  - 2cd)}{2(ab+cd)} . \frac{c^2 + d^2 + 2cd  - (a^2 + b^2  - 2ab)}{2(ab+cd)} \\ & = \frac{[(a+b)^2  - (c -d)^2]}{2(ab+cd)} . \frac{[(c+d)^2  - (a -b)^2]}{2(ab+cd)} \\ & = \frac{(a+b+c -d)(a+b -c+d)}{2(ab+cd)} . \frac{(c+d+a -b)(c+d -a+b)}{2(ab+cd)} \\ & = \frac{4(s -d)(s -c)}{2(ab+cd)} . \frac{4(s -b)(s -a)}{2(ab+cd)} \\ \sin ^2 Q & = \frac{4(s -a)(s -b)(s -c)(s -d)}{(ab+cd)^2} \\ \sin Q & = \sqrt{\frac{4(s -a)(s -b)(s -c)(s -d)}{(ab+cd)^2} } \\ \sin Q & = \frac{2}{(ab+cd)} \sqrt{(s -a)(s -b)(s -c)(s -d)} \end{align}$

Sekarang kita akan cari Luas PQRS
$\begin{align} \text{Luas PQRS } & = \text{Luas QPR } + \text{Luas SPR } \\ & = \frac{1}{2}ab\sin Q + \frac{1}{2}cd\sin Q \\ & = \frac{1}{2}(ab+cd)\sin Q \\ & = \frac{1}{2}(ab+cd). \frac{2}{(ab+cd)} \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \\ & = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \end{align} $

Catatan: Sesuai luas segitiga dengan mengunakan sinus,
$ \text{Luas QPR } = \frac{1}{2}ab \sin Q $
$ \text{Luas SPR } = \frac{1}{2}cd \sin S = \frac{1}{2}cd\sin Q $

Jika anda telah tahu rumus di mencari luas segiempat tali busur di atas, maka tidak akan sukar untuk mengaplikasikannya. Anda cukup menghitung dengan angka-angka yang disedikan soal
Sumber http://www.marthamatika.com/

Share this post