Rumus Peluang, Permutasi Dan Kombinasi Matematika Lengkap

Sebelum kita masuk pada rumus peluang, rumus permutasi dan rumus kombinasi matematika. Akan diberikan beberapa definisi dari istilah-istilah penting yang sering dipakai dalam bahan peluang. Istilah yang biasa dipakai yaitu ruang sampel, titik sampel dan kejadian. Berikut ini ialah definisinya.

Ruang Sampel

Ruang sampel merupakan himpunan dari semua hasil percobaan yang mungkin terjadi. 

Titik Sampel

Titik sampel merupakan anggota yang ada di dalam ruang sampel 

Kejadian

Kejadian merupakan himpunan bab dari ruang sampel. 

RUMUS PELUANG MATEMATIKA

Definisi Peluang

Peluang sanggup didefinisikan sebagai sebuah cara yang dilakukan untuk mengetahui kemungkinan terjadinya sebuah peristiwa.  

Frekuensi merupakan perbandingan antara banyaknya percobaan yang dilakukan dengan banyaknya insiden yang diamati. Frekuensi sanggup diketahui dengan memakai rumus:

Apabila setiap titik sampel dari anggota ruang sampel S mempunyai peluang yang sama, maka peluang insiden K yang jumlah anggotanya dinyatakan dalam n(K) sanggup diketahui dengan rumus :

Peluang munculnya insiden sanggup diperkirakan melalui notasi di bawah ini:

Apabila nilai P(K) = 0 maka insiden K tersebut sangat tidak mungkin untuk terjadi
Apabila nilai P(K) = 1 maka insiden K tersebut niscaya akan terjadi

Kejadian Majemuk
Kejadian beragam ialah dua atau lebih insiden yang dioperasikan sehingga terbentuklah sebuah insiden yang baru.

Suatu insiden K dan insiden pelengkap berupa K' memenuhi persamaan:
P(K) + P(K') = 1 atau P(K') = 1 - P(K)

Penjumlahan Peluang 
Kejadian Saling Lepas

dua buah insiden A dan B dikatakan saling lepas apabila tak ada satupun elemen pada insiden A yang sama dengan elemen yang ada pada insiden B. untuk dua buah insiden yang saling lepas, maka peluang salah satu A atau B mungkin terjadi, rumusnya adalah:

P(A u B) = P(A) + P(B)

Kejadian Tidak Saling Lepas
Artinya ada elemen A yang sama dengan elemen B, rumusnya sanggup dituliskan menjadi:
P(A u B) = P(A) + P(B) - P(A n B)

Kejadian Saling Bebas

Dua buah insiden sanggup disebut saling bebas bila munculnya insiden A tidak besar lengan berkuasa pada munculnya insiden B sehingga peluang insiden A dan B terjadi bersamaan sanggup dituliskan menjadi:

P(A n B) = P(A) x P(B)

Kejadian Bersyarat

insiden bersyarat terjaid apabila insiden A mempengaruhi munculnya insiden B atau sebaliknya. maka sanggup dituliskan menyerupai ini:

P(A n B) = P(A) x P(B/A)
atau
P(A n B) = P(B) x P(A/B)

PENGERTIAN PERMUTASI 

Permutasi adalah susunan unsur berbeda yang dibuat dari n unsur, diambil dari n unsur atau sebagian unsur. 

Permutasi sanggup dikelompokkan menjadi beberapa macam.

Permutasi dari n elemen, tiap permutasi terdiri dari n elemen

Jika ada unsur yang berbeda diambil n unsur, maka banyaknya susunan (permutasi) yang berbeda dari n unsur tersebut ialah P(n,n) = n! atau nPn = n!

Permutasi n elemen, tiap permutasi terdiri dari r unsur dari n elemen dengan r ≤ n 

Misalkan diketahui himpunan mempunyai anggota sejumlah n, maka susunan terurut yang terdiri dari r buah anggota dinamakan permutasi r dari n, ditulis sebagai P(n,r) dimana r lebih kecil atau sama dengan n. Rumus permutasi sanggup ditulis sebagai berikut.

Agar lebih memahami, coba Gengs perhatikan ilustrasi 1 berikut ini:

Ilustrasi 1: Jika dalam sebuah kotak terdapat 3 bola yang masing-masing berwarna: merah, hijau dan biru. Ada berapa banyak cara atau kemungkinan yang sanggup dibuat jikalau seandainya seorang anak ditugaskan untuk mengambil 2 bola secara acak dan urutan pengambilan diperhatikan ?

Kata kunci dari ilustrasi 1 ialah urutan pengambilan diperbolehkan. Dengan demikian, ini ialah permuatasi. Sehingga jawabannya menjadi :

Merah Hijau    Merah Biru

Hijau Merah    Hijau Biru

Biru  Merah    Biru  Hijau

Jika kita perhatikan ada 6 cara atau 6 kemungkian bola yang akan terambil oleh si Anak tersebut. Jika perhatikan lebih teliti lagi, Merah Hijau dan Hijau Merah ialah dua hal yang berbeda (karena berbeda urutan atau posisinya). Inilah yang dinamakan Permutasi.

Permutasi dari n unsur yang mengandung p.q dan r unsur yang sama 

Misalkan diketahui suatu himpunan mempunyai anggota sejumlah n, dimana terdapat $n_1$ anggota jenis 1 yang sama, $n_2$ anggota jenis 2 yang sama, dst  maka permutasi anggota-anggota himpunan tersebut ditulis sebagai P(n;$n_1$,$n_2$,…,$n_k$). Rumus permutasi jikalau terdapat $n_1$ anggota jenis 1 yang sama, $n_2$ anggota jenis 2 yang sama, dst ialah sebagai berikut.

Permutasi Siklik

Permutasi siklis ialah permutasi melingkar (urutan melingkar).
P(n) = (n - 1)!
Contoh Permutasi Siklik: Dari 6 orang anggota keluarga akan duduk mengelilingi sebuah meja bundar, banyak cara susunan yang sanggup dibuat dari 6 orang tersebut adalah!!!!
Jawab:
Banyak orang (n) = 6, maka :
5Psiklis = (6 – 1)! = 5! = 5. 4.3.2.1 = 120 cara.

Permutasi berulang dari n unsur, tipe permutasi terdiri dari k unsur

P(n) = $n^k$
Contoh: Banyak susunan 3 bilangan dari angka-angka 1, 2, 3, 4 dan 5 adalah!!!
Jawab:
Banyak susunan 3 bilangan, berarti bilangan ratusan, k = 3
Banyak angka yang akan disusun, n = 5
Banyak susunan 3 bilangan dari angka 1, 2, 3, 4 dan 5 yaitu:
P(6) = $5^3$ = 125 susunan.

PENGERTIAN KOMBINASI

Kombinasi ialah pemilihan objek tanpa memperhatikan urutannya. 

Agar lebih memahami apa itu kombinasi, coba Gengs perhatikan ilustrasi 2 berikut ini:

Ilustrasi 2: Misalkan soal permutasi diatas kita ubah dalam konsep kombinasi : Ada berapa banyak cara yang mungkin terjadi jikalau si Anak dipersilahkan mengambil 2 bola secara acak dalam suatu kotak yang mengandung bolah berwarna : merah, hijau dan biru. Dalam pengambilan bola, urutan tidak diperhatikan artinya tidak diizinkan perihal urutan.

Kata kuncil dari ilustrasi 2 ialah urutan pengambilan tidak diperbolehkan.  Sehingga harus kita jawab dalam bentuk kombinasi :

Merah Hijau 

Merah Biru

Hijau Biru 

Dengan demikian hanya terdapat tiga cara, kombinasi cara lain akan bermakna sama atau dianggap satu, menyerupai : Merah Hijau dengan Hijau Merah akan dianggap satu cara.

Rumus Kombinasi Matematika

Misalkan diketahui himpunan mempunyai anggota sejumlah n, maka pemilihan r buah anggota dinamakan kombinasi r dari n, ditulis sebagai C(n,r) dimana r lebih kecil atau sama dengan n. Rumus kombinasi ialah sebagai berikut. 

Perbedaan Permutasi dan Kombinasi

Kalau Gengs mempelajari permutasi dan kombinasi dengan benar, niscaya dengan gampang Gengs sanggup mengetahui perbedaan permutasi dan kombinasi. Seperti klarifikasi di atas sebelumnya, perbedaan antara permutasi dan kombinasi ialah permutasi memperhatikan urutan susunan anggota sedangkan kombinasi tidak memperhatikan urutan susunan anggota. 

Demikianlah klarifikasi lengkap Rumus Peluang, Permutasi dan Kombinasi Matematika. Selamat berguru dan biar sanggup memahami bahan yang diberikan dengan baik.

Semoga Bermanfaat 

Sumber http://www.sheetmath.com/

Share this post