Pembuktian Rumus Turunan Cotan X

Anda yang hingga pada halaman ini niscaya ialah orang jenius yang ingin tahu kenapa turunan cotan x ialah -cosec²X Darimana datangnya rumus turunan cotan x= -cosec² x (asumsi turunan terhadap x).

Turunan secara pendekatan limit dapat ditulis, $$ f^\prime (x) = \displaystyle \lim_{ h \to 0 } \frac{f(x+ h ) - f(x)}{h} \\ \text {dengan catatan nilai limit harus ada} $$
Disini juga akan dipakai beberapa rumus trigonometri yaitu,

sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B.
cos (A+B) = cos A cos B-sin A sin B
Identitas trigonometri $$ \cos ^2 x + \sin ^2 x = 1 \\ cotan A = \frac{\cos A}{\sin A} \\ \sec A = \frac{1}{\cos A } $$
Mari kita mulai menerangkan turunan cotan adalah,
$$ \text {misal } f(x) = cotan x \\ \text {sesuai identitas} \\ f(x) = \frac{\cos x}{\sin x} \\ \text {maka } \\ f(x+h) = \frac{\cos (x+h)}{\sin (x+h)} \\ f(x+h) = \frac {\cos x \cos h - \sin x \sin h} {\sin x \cos h + \cos x \sin h}$$
Tarik napas kemudian keluarkan perlahan dan…
$$ f^\prime (x) = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{f(x+h) - f(x) }{h} \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\cos x \cos h - \sin x \sin h}{\sin x \cos h + \cos x \sin h} - \frac{\cos x}{\sin x} }{h} \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{\sin x (\cos x \cos h - \sin x \sin h) - \cos x (\sin x \cos h + \cos x \sin h) }{\sin x(\sin x \cos h + \cos x \sin h) } - \frac{\cos x}{\sin x} }{h} \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ \sin x \cos x \cos h - \sin ^2 x \sin h - \sin x \cos x \cos h - \cos ^2 x \sin h }{\sin x(\sin x \cos h + \cos x \sin h) } }{h}$$ 

$$ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ - \sin ^2 x \sin h - \cos ^2 x \sin h }{\sin x(\sin x \cos h + \cos x \sin h) } }{h} \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ - ( \sin ^2 x + \cos ^2 x ) \sin h }{\sin x(\sin x \cos h + \cos x \sin h) } }{h} \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ - ( 1 ) \sin h }{\sin x(\sin x \cos h + \cos x \sin h) } - \frac{\cos x}{\sin x} }{h} \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \frac{ - \sin h }{\sin x(\sin x \cos h + \cos x \sin h) } }{h} \\ $$

$$= \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \frac{ - 1 }{\sin x(\sin x \cos h + \cos x \sin h) } \\ = \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ \sin h }{h} \displaystyle \lim_{h \to 0 } \frac{ - 1 }{\sin x(\sin x \cos h + \cos x \sin h) } \\ = 1. \frac{ - 1 }{\sin x(\sin x \cos 0 + \cos x \sin 0) } \\ = \frac{ - 1 }{\sin x(\sin x .1 + \cos x .0) } \\ = \frac{ - 1 }{\sin x(\sin x ) } \\ = -\frac{ 1 }{\sin x } . \frac{ 1 }{\sin x } \\ = - \csc x . \csc x \\ = - \csc ^2 x $$

Sudah menemukan tanggapan bukan, alasan kenapa turunan cotan ialah -cosec²x ? Baca juga pembuktian rumus turunan lain:

1. Pembuktian Rumus Turunan Sinus (sin)
2. Pembuktian Rumus Turunan Cosinus (cos)
3. Pembuktian Rumus Turunan Tangen (tan)
4. Pembuktian Rumus Turunan Cotangen (cotan)
5. Pembuktian Rumus Turunan Secan (sec)
6. Pembuktian Rumus Turunan Cosec (cosec)

Sumber http://www.marthamatika.com/

Share this post