iklan banner

Contoh Soal Dan Pembahasan Proyeksi Vektor

Di halaman ini akan diberikan beberapa pola soal dan pembahasan wacana proyeksi vektor. Soal ini berupa soal hitungan yang mengambil sub topik panjang proyeksi/proyeksi skalar dan proyeksi ortogonal dari sebuah vektor pada vektor lain.

Adapun rumus proyeksi vektor yang harus diingat adalah..
Misalkan vektor c adalah hasil proyeksi vektor a pada vektor b, maka
$$|\vec {c}| = \frac {\vec a .\vec b}{|\vec b|} \\ \vec {c} = \frac {\vec a .\vec b}{|\vec b|^2} .\vec b$$ Selanjutnya mari kita lihat pola soal dan pembahasan wacana panjang proyeksi dan proyeksi ortogonal vektor (soal diambil dari soal-soal SBMPTN dan Soal UN). Selain itu anda juga harus sanggup melakukan perkalian dot vektor.

#Soal 1.  Diketahui a (-2,3,4) dan b (x,0,3). Jika panjang proyeksi vektor a pada b adalah 4/5. Maka salah satu nilai x yang memenuhi adalah...
a) -4    b) -4    c) 2   d) 4   e) 6

Pembahasan: $$\vec a(-2,3,4) \, \, \,  \vec b (x,0,3) \\ |\vec {c}| = \frac {\vec a .\vec b}{|\vec b|} \\ \frac {4}{5}=\frac {(-2,3,4) .(x,0,3)}{\sqrt {x^2+0^2+3^2}} \\ \frac {4}{5}=\frac {-2x+3.0+3.4}{\sqrt {x^2+9}} \\ 4 \sqrt {x^2+9}=5.(-2x+12) \\ \text {kuadratkan ke-2 ruas} \\ 21x^2-300x+864=0 \\ x=4 \, \cup \, x=10,2$$

#Soal 2. Proyeksi vektor u=6i+4j-5k pada v=-2i+j+2k adalah...
a) -4i+2j+4k
b) -2i-j-2k
c) -2/3 i -1/3 j- 2/3 k
d) -2/3 i +1/3 j+2/3 k
e) 4i-2j-4k

Pembahasan:
u(6,4,-5) dan v (-2,1,2) $$\vec {c} = \frac {\vec u .\vec v}{|\vec u|^2} .\vec v \\ \vec {c} =  \frac {(6,4,-5) .(-2,1,2)}{(\sqrt {(-2)^2+1^2+2^2})^2} (-2,1,2) \\ \vec c= \frac {-12+4-10}{9} (-2,1,2) \\ \vec c= -2(-2,1,2) \\ \vec c= (4,-2,-4) \\ \vec c = 4i-2j-4k$$

#Soal 3. Diketahui a (4,-12,-6)  dan b (4,2,-4). Jika vektor c adalah proyeksi ortogonal a pada b. Jika vektor d (2,1,x)  memiliki panjang dengan vektor c. Maka panjang x adalah...
$a) \frac {1}{3} \sqrt {3}  \\ b) \frac {1}{3} \sqrt {17} \\ c) \frac {1}{3} \sqrt {19} \\  d)  \frac {1}{3} \sqrt {23} \\ e) \frac {1}{3} \sqrt {29}$


Pembahasan:
Dengan menghitung panjang proyeksi a pada b maka didapat panjangnya 8/3.
$|c|=|d| \\ \frac {8}{3} = \sqrt {2^2+1^2+x^2} \\ \frac {8}{3} = \sqrt {5+x^2} \\ \frac {64}{9} = 5+x^2 \\ x^2=\frac {64}{9} -5 \\ x= \frac {1}{3} \sqrt {19}$

#Soal 4. Diketahui
$\vec a = 2i+xj-3k \\ \vec b= 4i+2j-4k$ Jika proyeksi a pada
$\vec c= \frac {8}{9}i+\frac {4}{9}j-\frac {8}{9}k \\ \text {maka nilai k=...} $
a) -6   b) -3    c) 3    d) 6    e) 8

Pembahasan:
a (2,x,-3)     ; b (4,2,-4)      c( 8/9, 4/9, -8/9)
$\vec {c} = \frac {\vec a .\vec b}{|\vec b|^2} .\vec b \\ ( \frac {8}{9}, \frac {4}{9}, -\frac {8}{9})=\frac {(2,x,-3) .(4,2,-4)}{(\sqrt {4^2+2^2+(-4)^2})^2} .(4,2,-4) \\ \frac {2}{9} (4,2,-4)= \frac {8+2x+12}{6} .(4,2,-4)  \\ \frac {2}{9} = \frac {8+2x+12}{6} \\ x=-6 $

Tambahan: Soal Panjang dari jumlah dan selisih vektor.
Rumus yang akan digunakan: $|a \pm b|^2= |a|^2+|b|^2\pm 2|a||b| \cos \alpha$
#Soal 5. Diketahui |a|=8 , |b|=4  dan |a-b|= $6 \sqrt 3$. Maka nilai |a+2b|=...

Pembahasan:
$|a - b|^2= |a|^2+|b|^2- 2|a||b| \cos \alpha \\ (6 \sqrt 3)^2=8^2+4^2-2.8.4. \cos \alpha \\ \cos \alpha = -
 \frac {7}{16} \\ \text {uraikan |a+2b|} \\ |a+2b|^2= |a|^2+|2b|^2+2|a||2b| \cos \alpha \\ |a+2b|^2=|a|^2+4|b|^2+4|a||b| \cos \alpha \\ |a+2b|^2 = 8^2+4.4^2+4.8.4. - \frac {7}{16} \\ |a+2b|= 6 \sqrt 2$
Sumber http://www.marthamatika.com/

0 Response to "Contoh Soal Dan Pembahasan Proyeksi Vektor"

Posting Komentar

Iklan Atas Artikel

Iklan Tengah Artikel 1

Iklan Tengah Artikel 2

Iklan Bawah Artikel