Matriks Invers [Definisi, Sifat-Sifat, Dan Metode Matriks Adjoin]

Definisi dari matriks invers

Suatu matriks segi A dikatakan matriks taksingular atau memiliki invers, jikalau ada suatu matriks B sedemikian sehingga AB = BA = I. Matriks B dinamakan invers dari matriks A, ditulis B = $\mathbf{A}^{-1}$.
Sehingga dari definisi diatas, tersirat bahwa:

$\mathbf{A}\mathbf{A}^{-1}=\mathbf{A}^{-1}\mathbf{A}=\mathbf{I}$

dengan I yakni matriks identitas.

Sifat-Sifat dari Matriks Invers

1. Invers suatu matriks taksingular yakni tunggal
2. Jika matriks A dan B taksingular, maka:

     a. $(\mathbf{A}^{-1})^{-1}=\mathbf{A}$
     b. $(\mathbf{AB})^{-1}=\mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}^{-1}$
     c. $(\mathbf{A}^{T})^{-1}=(\mathbf{A}^{-1})^{T}$

Menentukan Invers Matriks dengan Metode Matriks Adjoin

Teorema berikut ini merupakan salah satu cara untuk memilih invers suatu matriks.

Teorema [Untuk Menentukan Invers Matriks dengan Matriks Adjoin]:
Jika determinan matriks $\mathbf{A}=(a_{ij})_{nxn}$ tidak nol, dan matriks $\mathbf{C}=(a_{ij})_{nxn}$ dengan $a_{ij}$ kofaktor elemen $a_{ij}$, maka invers matriks A adalah:

$\mathbf{A}^{-1}= \mathbf{C}^{T}/det(\mathbf{A})$

Matriks $\mathbf{C}^{T}$ disebut matriks adjoin dari matriks A.

Contoh 1:

Tentukan invers matriks dari:
$\mathbf{A}=\begin{pmatrix} 1 &-2 &1 \\ 1 &3 &2 \\ 0 &-3 &-1 \end{pmatrix}$

Jawab:
Apabila kita melihat matriks diatas, menurut sifat determinan maka determinan dari matriks A#0.
Pertama-tama kita mencari nilai dari det(A), maka akan diperoleh det(A) = -2. Kemudian kita cari matriks kofaktor dari matriks A , sehingga akan diperoleh matriks kofaktor menyerupai berikut.

$\begin{pmatrix} 3 &1 &-3 \\ -5 &-1 &3 \\ -7 &-1 &5 \end{pmatrix}$

dengan demikian invers matriks A adalah:

 

 

 

 

 

Contoh 2:

Tentukan invers matriks berikut.

$\mathbf{A}=\begin{pmatrix} 1 &2 \\ 3 &4 \end{pmatrix}$

Jawab:
Karena matriks A#0 , selanjutnya kita cari nilai determinan dari matriks A, sehingga diperoleh det(A) = 4 - 6 = -2. Untuk memilih invers matriks A sanggup memakai Metode Matriks Adjoin. Matriks adjoin dari matriks A adalah:

$\mathbf{C}^{T}=\begin{pmatrix} 4 &-2 \\ -3 &1 \end{pmatrix}$

dengan demikian invers matriks A adalah

Contoh 3:

Tentukan invers matriks berikut.

$\mathbf{A}=\begin{pmatrix} a &b \\ c &d \end{pmatrix}$

dengan ad-cb # 0.

Jawab:
Perhatikan: det(A) = ad - bc [tidak nol], sehingga untuk memilih invers matriks A sanggup memakai Metode Matriks Adjoin.
Kofaktor dari elemen-elemen matrika A adalah

$\alpha _{11}=-1^{2}\begin{vmatrix} d \end{vmatrix}=d ;\alpha _{12}=-1^{3}\begin{vmatrix} c \end{vmatrix}=-c ;$
$\alpha _{21}=-1^{3}\begin{vmatrix} b \end{vmatrix}=-b;\alpha _{22}=-1^{4}\begin{vmatrix} a \end{vmatrix}=a$

sehingga matriks kofaktor dari A adalah

$\mathbf{C}=\begin{pmatrix} d &-c \\ -b &a \end{pmatrix}.$

Matriks adjoin dari matriks A adalah:

$\mathbf{C}^{T}=\begin{pmatrix} d &-b \\ -c &a \end{pmatrix}.$

Dengan demikian invers matriks A adalah

$\mathbf{A}^{-1}=(1/(ad-bc))\begin{pmatrix} d &-b \\ -c &a \end{pmatrix}$

Contoh 4:

Tentukan matriks T sedemikian sehingga TA = B, bila:

$\mathbf{A}=\begin{pmatrix} 3 &1 \\ -2 &-1 \end{pmatrix};\mathbf{B}=\begin{pmatrix} 6 &8 \\ 11 &-4 \end{pmatrix}$

Jawab:
Untuk memilih matriks T dari persamaan TA = B, maka kalikan [dari sebelah kanan] kedua rumus itu dengan matriks $\mathbf{A}^{-1}$, sehingga diperoleh

$\mathbf{T}\mathbf{A}\mathbf{A}^{-1}=\mathbf{B}\mathbf{A}^{-1}$

Karena $\mathbf{A}\mathbf{A}^{-1}=\mathbf{I}$, maka:

$\mathbf{T}\mathbf{I}=\mathbf{B}\mathbf{A}^{-1} \rightarrow \mathbf{T}=\mathbf{B}\mathbf{A}^{-1}$

Karena,

$\mathbf{A}^{-1}=(1/(-3-(-2)))\begin{pmatrix} -1 &-1 \\ 2 &3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 &1 \\ -2 &-3 \end{pmatrix}$

maka

$\mathbf{T}=\begin{pmatrix} 6 &8 \\ 11 &-4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 &1 \\ -2 &-3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -10 & -18\\ 19&23 \end{pmatrix}$

Semoga Bermanfaat

Sumber http://easy-matematika.blogspot.com

Share this post