Rangkuman - Koordinat Polar Kalkulus Lengkap

1. Sistem Koordinat Polar

Pada bab ini kita akan membahas suatu sistem koordinat yang disebut sistem koordinat polar atau sistem koordinat kutub. Sistem ini diperkenalkan oleh Newton, dan lebih gampang dipakai pada banyak kasus.

Pada sistem ini, kita pilih sebuah titik pada bidang, yang disebut titik kutub atau titik asal, dan diberi lambang O. Lalu kita buat suatu garis yang berawal dari O, yang disebut sumbu polar atau sumbu kutub. Sumbu ini biasanya digambarkan secara horizontal ke kanan dan berimpit sengan sumbu x pada koordinat Cartesius.

Misalkan P yaitu suatu titik pada bidang. Jika r yaitu jarak dari O ke P, dan $\theta$ yaitu suatu sudut (biasanya diukur dalam radian) antara sumbu polar dan garis OP, maka pasangan berurut (r,$\theta$) disebut koordinat polar dari titik P.

Kita sepakati bahwa sudut yaitu positif jikalau diukur berlawanan arah jarum jam dari sumbu polar dan negatif jikalau diukur searah jarum jam. Koordinat (0,$\theta$) menyatakan titik asal, untuk sembarang nilai $\theta$.

Titik (-r,$\theta$) dan (r,$\theta$) terletak pada garis yang sama melalui O dan berjarak sama, yaitu |r| dari O. Jika r>O. Jika r>0, titik (r,$\theta$) terletak di kuadran yang sama dengan $\theta$.

Dalam koordinat Cartesius, setiap titik hanya mempunyai satu penyajian. Dalam sistem koordinat polar, masing-masing titik mempunyai banyak penyajian. titik (r,$\theta$) sanggup juga dinyatakan dengan:

$(r,\theta +2n\pi )$ atau $(-r,\theta +(2n+1)\pi )$,

dengan n yaitu bilangan lingkaran sembarang.

Hubungan antara koordinat polar dengan koordinat Cartesius sanggup dijelaskan sebagai berikut. Jika titik P mempunyai koordinat polar (r,$\theta$) dan koordinat Cartesius (x,y), maka dengan pertolongan gambar, sanggup dilihat hubungan berikut:

$\cos \theta =\frac{x}{r}$    dan    $\sin \theta =\frac{y}{r}$

Jadi, jikalau kita tahu bahwa suatu titik P mempunyai koordinat polar (r,$\theta$), maka koordinat Cartesiusnya yaitu (x,y), dengan x dan y diberikan oleh

$x=r\cos \theta$    dan    $y=r\sin \theta$

Sebaliknya, jikalau kita tahu bahwa suatu titik P mempunyai koordinat Caatesius (x,y), maka koordinat polarnya yaitu (r,$\theta$), dimana r dan $\theta$ memenuhi hubungan berikut

$r^2 = x^2 + y^2$    dan    $\tan \theta =\frac{y}{x}$

Dalam sistem koordinat polar, suatu kurva umumnya dinyatakan dalam bentuk $r=f(\theta )$, untuk suatu fungsi f.

2. Kalkulus dalam Koordinat Polar

a. Garis Singgung

Untuk memilih garis singgung pada kurva polar $r=f(\theta )$, kita anggap $\theta$ sebagai parameter dan menulis persamaan parametriknya sebagai berikut:

$x=r\cos \theta =f(\theta )\cos \theta$
$y=r\sin \theta =f(\theta )\sin \theta$

Dengan metode penentuan kemiringan garis singgung  m pada kurva parametrik kita peroleh
$m=\frac{dy}{dx}=\frac{dy/d\theta }{dx/d\theta }=\frac{f'(\theta )\sin \theta +f(\theta )\cos \theta }{f'(\theta )\cos \theta -f(\theta )\sin \theta}$

Kurva mempunyai garis singgung horizontal di titik dengan $dy/d\theta =0$, asalkan $dx/d\theta \neq 0$. Kurva mempunyai garis singgung vertikal di titik dengan $dx/d\theta = 0$, asalkan $dy/d\theta \neq 0$.

b. Luas

Untuk menurunkan rumus luas tempat yang dibatasi kurva dalam persamaan polar, kita perlu memakai rumus luas sektor (juring) dari suatu lingkaran dengan jari-jari r, yaitu

$L=\frac{1}{2}r^2\theta$

dengan $\theta$ yaitu sudut sentra yang diukur dalam radian. Rumus ini didapat dari fakta bahwa luas sektor lingkaran yaitu sebanding dengan sudut pusatnya.

Misalkan D yaitu tempat yang dibatasi kurva polar $r=f(\theta )$ dan oleh dua garis $\theta$ = a dan $\theta$ = b, dimana f yaitu kontinu dan tak negatif serta $0\leq b-a\leq 2\pi$.

Kita bagi selang [a,b] menjadi n anak selang yang sama panjang, dengan titik-titik ujung $\theta _{0},\theta _{1},...,\theta _{n}$ dan panjang masing-masing anak selang yaitu $\Delta \theta$. Dengan demikian, tempat D juga terbagi menjadi n tempat bagian, yang masing-masing mempunyai sudut sentra $\Delta \theta$.

Kita pilih $\theta ^*_{i}\in [\theta _{i-1},\theta _{i}]$. Jika $\Delta L_{i}$ menyatakan luas tempat bab ke-i, maka tempat ini sanggup dihampiri dengan luas sektor lingkaran dengan jari-jari $f(\theta ^*_{i})$ dan sudut sentra $\Delta \theta$, yaitu

$\Delta L_{i}=\frac{1}{2}(f(\theta ^*_{i}))^2\Delta \theta$
Sehingga hampiran untuk total luas tempat D adalah
$L \approx \int_{a}^{b}\frac{1}{2}(f(\theta ))^2d\theta =\int_{a}^{b}\frac{1}{2}r^2d\theta$

Perhatikan bahwa jumlah di atas yaitu sebuah jumlah Riemann, dan nilai hampiran akan semakin mendekati luas tempat D jikalau $n\rightarrow \infty$.

Akhirnya, kita peroleh rumus untuk memilih luas tempat D sebagai berikut
$L=\int_{a}^{b}\frac{1}{2}(f(\theta ))^2d\theta =\int_{a}^{b}\frac{1}{2}r^2d\theta$

c. Panjang Kurva

Kita ingin memilih panjang kurva dari suatu persamaan polar $r=f(\theta )$ untuk $a\leq \theta \leq b$. Dengan mengasumsikan bahwa f' kontinu pada selang $[a\leq \theta \leq b]$, kita sanggup memakai Teorema berikut ini untuk memilih panjang kurva tersebut, yaitu

$P=\int_{a}^{b}\sqrt{\begin{pmatrix} \frac{dx}{d\theta } \end{pmatrix}^2 +\begin{pmatrix} \frac{dy}{d\theta } \end{pmatrix}^2}d\theta$

Karena $x=r\cos \theta$ dan $y=r\sin \theta$, maka panjang kurva dari suatu persamaan polar $r=f(\theta )$ untuk $a\leq \theta \leq b$ sanggup ditentukan sebagai berikut

$P=\int_{a}^{b}\sqrt{r^2 +\begin{pmatrix} \frac{dr}{d\theta } \end{pmatrix}^2}d\theta$

Semoga Bermanfaat
Sumber http://easy-matematika.blogspot.com

Share this post