Penerapan Matriks Dalam Sistem Persamaan Linear 2 Variabel [Sma Kelas 12]

Sistem Persamaan Linear dengan Dua Variabel

Penyelesaian dalam sistem persamaan linear [SPL] sanggup dilakukan dengan cara invers matriks, cara Cramer [determinan matriks], dan cara eliminasi Gauss-Jordan.

A. Persamaa linear dengan dua variabel

Bagaimana cara kita menemukan jawaban/solusi dari persamaan $2x+3y=6$ , untuk x dan y bilangan bulat? Dalam menjawab pertanyaan di atas, kita sanggup menggambarkan garis dari persamaan $2x+3y=6$  pada bidang Cartesius untuk melihat titik-titik apa saja yang terletak pada garis tersebut.
Contoh:
dikala x=0 maka y=2
dikala x=2 maka y=2/3
dikala x=1 maka y=4/3
Dari pola di atas sanggup kita simpulkan bahwa persamaan $2x+3y=6$  memiliki banyak solusi. Karena persamaan $2x+3y=6$  memiliki banyak solusi maka persamaan $2x+3y=6$  disebut solusi umum.

Dari mana kita tahu bahwa persamaan $2x+3y=6$  disebut solusi umum?
Penentuan solusi umum dari persamaan $2x+3y=6$  selain memakai algoritme Euclid.

Solusi umum dari persamaan linear dengan dua variabel
Persamaan linear:
$ax+by=c,a\ne 0$ dan $b\ne 0$ dengan $x\in \mathbb{R}$ dan $y\in \mathbb{R}$
Solusi Umum:
$\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{c}{a}\\ 0 \end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} -b\\ a \end{pmatrix}$
Bentuk ini dekenal dengan notasi matriks atau vektor.

B. Sistem persamaan linear dengan dua variabel

Coba Gengs perhatikan sistem persamaan linear [SPL] dengan dua variabel berikut ini:
Bentuk biasa:
$ax+by=P$
$cx+dy=Q$
Bentuk matriks:
$\begin{pmatrix} a &b \\ c &d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} P\\ Q \end{pmatrix}$
Penentuan nilai x dan y dari sistem persamaan linear dengan dua variabel secara matriks sanggup dilakukan dalam beberapa cara.

Cara Pertama [Invers Matriks]

$\begin{pmatrix} a &b \\ c &d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} P\\ Q \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} a &b \\ c &d \end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix} a &b \\ c &d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} P\\ Q \end{pmatrix}$
$I\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a &b \\ c &d \end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix} P\\ Q \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a &b \\ c &d \end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix} P\\ Q \end{pmatrix}$
Secara umum, solusi dari sistem persamaan linear dengan dua variabel ialah sebagai berikut:
1. Mempunyai satu solusi jikalau nilai determinan matriks tidak sama dengan nol.
2. Tidak memiliki solusi jikalau nilai determinan matriks sama dengan nol.
3. Mempunyai tak sampai solusi jikalau $ax+by=P$ merupakan kelipatan dari $cx+dy=Q$.

PERHATIKAN CONTOH BERIKUT INI
Soal: Carilah nilai x dan y dari sistem persamaan linear di bawah ini:
$\frac{40}{x+y}+\frac{2}{x-y}=5$
 $\frac{25}{x+y}-\frac{3}{x-y}=1$
Jawab:
Jika soal yang kita kerjakan masih dalam bentuk SPL maka pertama-tama kita ubah terlebih dahulu ke dalam bentuk matriks ibarat berikut ini:
$\begin{pmatrix} 40 &2 \\ 25 &-3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \frac{1}{x+y}\\ \frac{1}{x-y} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5\\ 1 \end{pmatrix}$
Karena kita memakai cara invers maka kita perhatikan kembali rumus yang telah di tulis diatas, ibarat berukut ini:.
$\begin{pmatrix} a &b \\ c &d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} P\\ Q \end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}]=\begin{pmatrix} a &b \\ c &d \end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix} P\\ Q \end{pmatrix}$
Sehingga akan ibarat berikut ini:
$\begin{pmatrix} \frac{1}{x+y}\\ \frac{1}{x-y} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 40 &2 \\ 25 &-3 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 5\\ 1 \end{pmatrix}$
$=\frac{1}{-120-50}\begin{pmatrix} -3 &-2 \\ -25 &40 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5\\ 1 \end{pmatrix}$
$=\frac{1}{-170}\begin{pmatrix} -15-2 \\ -125+40 \end{pmatrix}$
Sehingga akan kita peroleh sebagai berikut:
$\begin{pmatrix} \frac{1}{x+y}\\ \frac{1}{x-y} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{1}{10}\\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
Karena masih dalam bentuk $ \begin{pmatrix} \frac{1}{x+y}\\ \frac{1}{x-y} \end{pmatrix}$maka kita ubah kedalam bentuk $\begin{pmatrix} x+y\\ x-y \end{pmatrix}$ sehingga kita akan peroleh ibarat berikut ini:
$\begin{pmatrix} x+y\\ x-y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 10\\ 2 \end{pmatrix}$

Jangan lupa juga... sebab kita mencari bentuk penyelesaian maka kita perlu mencari nilai x dan nilai y nya. Bentuk
$\begin{pmatrix} x+y\\ x-y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 10\\ 2 \end{pmatrix}$
kita ubah kedalam bentuk matriks ibarat berikut ini:
$\begin{pmatrix} 1&1\\ 1&-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 10\\ 2 \end{pmatrix}$
Selanjutnya kita kerjakan dengan cara ibarat sebelumnya.
$\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 &1 \\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}10\\ 2\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}=\frac{1}{-1-1}\begin{pmatrix}
-1 &-1 \\
-1 &1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
10\\
2
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}
-10-2  \\
-10+2 
\end{pmatrix}$
$\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
6  \\
4 
\end{pmatrix}$

Cara Kedua [Cara Cramer, Determinan Matriks]

Dalam menuntaskan sistem persamaan linear [SPL] dua variabel, kita sanggup memakai determinan matriks yang dikenal sebagai cara Cramer.
Coba Gengs perhatikan sistem persamaan linear dua variabel berikut ini:
Bentuk biasa:
$ax+by=P$
$cx+dy=Q$
Bentuk matriks:
$\begin{pmatrix} a &b \\ c &d \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} P\\ Q \end{pmatrix}$
dimana:
$\begin{vmatrix}
a &b \\
c &d
\end{vmatrix}\neq 0$
Sistem persamaan linear dua variabel di atas memiliki solusi unik atau yang kita kenal dengan penyelesaian tunggal yang ditentukan oleh:
$x=\frac{\begin{vmatrix}
P &b \\
Q &d
\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}
a &b \\
c &d
\end{vmatrix}}$
dan
$y=\frac{\begin{vmatrix}
a &P \\
c &Q
\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}
a &b \\
c &d
\end{vmatrix}}$

PERHATIKAN CONTOH BERIKUT INI
Soal: Selesaikan sistem persamaan berikut ini dengan cara Cramer.
$5x+3y=1$
$6x+46=0$
Jawab:
Langkah pertama yang Gengs perlu ingat yaitu "
1. Apabila masih dalam bentuk SPL maka kita ubah dahulu ke dalam bentuk matriks
2. Gengs harus menghitung determinannya [determinannya harus tidak sama dengan nol
Agar lebih gampang untuk mengetahui apakah suatu determinan ialah nol atau tidak, Gengs sanggup membacanya pada artikel berikut ini: Beberapa Sifat Dari Determinan Suatu Matriks

Berikut ini bentuk matriks yang dihasilkan dari SPL di atas:
$\begin{pmatrix}
5 &3 \\
5 &4
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
1\\
0
\end{pmatrix}$
dan berikut ini merupakan nilai determinan yang diperoleh:
$\begin{vmatrix}
5 &3 \\
5 &4
\end{vmatrix}=20-18=2\neq 0$
Berdasarkan cara Cramer diperoleh ibarat berikut ini:
$x=\frac{\begin{vmatrix}
1 &3 \\
0 &4
\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}
5 &3 \\
6 &4
\end{vmatrix}}=\frac{4-0}{2}=2$
dan
$y=\frac{\begin{vmatrix}
5 &1 \\
6 &0
\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}
5 &3 \\
6 &4
\end{vmatrix}}=\frac{0-6}{2}=-3$
Dengan demikian penyelesaiannya adalah:
$\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2\\
-3
\end{pmatrix}$

Cara Ketiga [Cara Eliminasi Gauss-Jordan]

Dalam menemukan solusi watak penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan cara eliminasi Gauss-Jordan, perhatikan sistem persamaan linear dua variabel ibarat berikut ini:
Jika ada sistem persamaan linear ibarat berikut ini
$ax+by=P$
$cx+dy=Q$
Kita ubah kedalam bentuk matriks ibarat berikut ini
$\begin{pmatrix}
a &b  &|  &P \\
c &d  &|  &Q
\end{pmatrix}$
Dalam pengerjaannya matriks sebelah kiri kita akan mengubahnya menjadi matriks identitas dengan cara operasi aljabar ibarat berikut ini:
$\begin{pmatrix}
1 &0   \\
0 &1 
\end{pmatrix}$
Bagi yang mau berlatih soal-soal ihwal terapan matriks sistem persamaan lebih banyak lagi, Gengs sanggup membuaka link berikut: Contoh Soal Penyelesaiannya - Terapan Matriks Sistem Persamaan Linear SPL


PERHATIKAN CONTOH BERIKUT INI
Soal: Selesaikan sistem persamaan linear dua variabel berikut ini dengan cara Gauss-Jordan.
$2x+4y=2$
$1x+3y=3$
Jawab:
Sama halnya dengan cara pengerjaan soal sebelumnya, mula-mula kita ubah SPL tersebut kedalam bentuk matriks ibarat berikut ini
$\begin{pmatrix}
2 &4  &|  &2 \\
1 &3  &|  &3
\end{pmatrix}$
Yang perlu diingat juga bahwa kita akan mengubah matriks tersebut menjadi matrik identitas dengan cara operasi aljabar. Berikut ini merupakan langkah-langkah yang akan kita lakukan untuk memperoleh matriks identitas.

Langkah 1: Pada langkah pertama ini kita kalikan baris pertama pada matriks di atas dengan 1/2 yang nantinya baris pertama kita ganti angka-angkanya dengan hasil pengalian dengan 1/2 tersebut. Perhatikan perhitungan di bawah ini:
$B_{1}\times \frac{1}{2}\rightarrow B_{1}$
$B_{1}$ ialah baris pertama
$\begin{bmatrix}
2\times \frac{1}{2} &4\times \frac{1}{2}  &|  &2\times \frac{1}{2} \\
1 &3  &|  &3
\end{bmatrix}$
Sehingga matriks gres yang akan kita peroleh adalah
$\begin{bmatrix}
1 &2  &|  &1 \\
1 &3  &|  &3
\end{bmatrix}$

Langkah 2: Membuat nol pada baris ke-2 kolom ke-1 dengan cara "mengalikan -1 dengan baris pertama, sehabis dikalikan kita tambahkan kesannya dengan baris kedua ". Perhatikan hasil berikut
$B_{1}\times (-1)+B_{2}\rightarrow B_{2}$
$\begin{bmatrix}
1\times -1 &2\times -1  &|  &1\times -1 \\
1 &3  &|  &3
\end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix}
-1 &-2  &|  & -1 \\
1 &3  &|  &3
\end{bmatrix}$
Setelah kita kalikan selanjutnya kita tambahkan dengan baris ke dua, dan hasil yang telah kita peroleh kita letakkan pada baris kedua.
$\begin{bmatrix}1 &2  &|  & 1 \\
1+-1=0 &3+-2=1  &|  &3+-1=2
\end{bmatrix}$

Langkah 3: Membuat nol pada baris pertama kolom kedua dengan cara "mengalikan -2 dengan baris kedua, sehabis dikalikan kita tambahkan kesannya dengan baris pertama". Perhatikan hasil berikut.
$B_{2}\times (-2)+B_{1}\rightarrow B_{1}$
$\begin{bmatrix}
1 &2  &|  & 1 \\
0\times -2=0 &1\times -2=-2  &|  &2\times -2=-4
\end{bmatrix}$
Setelah kita kalikan selanjutnya kita tambahkan dengan baris pertama, dan hasil yang telah kita peroleh kita letakkan pada baris pertama.
$\begin{bmatrix}
1 &0  &|  & -3 \\
0 &1  &|  &2
\end{bmatrix}$
Sehingga penyelesaiang yang kita peroleh adalah
$\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-3\\
2
\end{pmatrix}$

Link berikut ini merupakan pola soal penyelesaian matriks dengan metode Gauss-Jordan: Penentuan Penyelesaian SPL dengan Metode Eliminasi Gauss

C. Sistem dengan tiga persamaan dan dua variabel

Dalam permasalahan matematika, terkadang kita menjumpai sistem persamaan linear dua variabel yang dibuat oleh tiga persamaan, ibarat berikut:
$ax+by=L$
$cx+dy=M$
$ex+fy=N$
Tiga persamaan tersebut menunjukkan tiga garis lurus dalam sebuah bidang Cartesius. Kedudukan ketiga garis ini sanggup membentuk sebuah segitiga dan saling berpotongan disatu titik. Dalam keadaan ketiga titik saling berpotongan pada satu titik, sistem persamaan tersebut memiliki solusi unik atau yang kita kenal dengan solusi tunggal. Namun, apabila ketiga persamaan hanya membentuk satu garis maka sistem persamaaan tersebut memiliki solusi umum atau yang kita kenal dengan banyak penyelesaian.

PERHATIKAN CONTOH BERIKUT INI
Soal: Selesaikan sistem persamaan linear dua variabel berikut dengan cara eliminasi Gauss-Jordan.
$x+3y=4$
$2x-y=1$
$x+y=2$
Jawab:
Seperti pola sebelumnya, pertama-tama kita ubah persamaan tersebut kedalam bentuk matriks.
$\begin{bmatrix}
1 &3  &|  &4 \\
2 &-1  &|  &1 \\
1 &1  &  |& 2
\end{bmatrix}$

Selanjutnya kita selesaikan ibarat berikut.

Langkah 1: $(-2)B_{1}+B_{2}\rightarrow B_{2}$
$\begin{bmatrix}
1(-2) &3(-2)  &|  &4(-2) \\
2 &-1  &|  &1 \\
1 &1  &  |& 0
\end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix}
1 &3  &|  &4 \\
0 &-7  &|  &-7 \\
1 &1  &  |& 0
\end{bmatrix}$

Langkah 2: $(-1)B_{1}+B_{3}\rightarrow B_{3}$
 $\begin{bmatrix} 1(-1) &3(-1) &| &4(-1) \\ 0 &-7 &| &-7 \\ 1 &1 & |& 0 \end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix} 1 &3 &| &4 \\ 0 &-7 &| &-7 \\ 0 &-2 & |& -2 \end{bmatrix}$

Langkah 3: $(-1/7)B_{2}\rightarrow B_{2}$
$\begin{bmatrix} 1 &3 &| &4 \\ 0 &1 &| &1 \\ 0 &-2 & |& -2 \end{bmatrix}

Langkah 4:$(-1/2)B_{3}\rightarrow B_{3}$
$\begin{bmatrix} 1 &3 &| &4 \\ 0 &1 &| &1 \\ 0 &1 & |&1 \end{bmatrix}$
Langkah 5:$(-3)B_{2}+B_{1}\rightarrow B_{1}$
 $\begin{bmatrix} 1 &3 &| &4 \\ 0(-3) &1(-3) &| &1(-3) \\ 0 &1 & |&1 \end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix} 1 &0 &| &1 \\ 0 &1 &| &1 \\ 0 &1 & |&1 \end{bmatrix}$

Langkah 6: $(-1)B_{2}+B_{3}\rightarrow B_{3}$
$ \begin{bmatrix}
1 &0  &|  &1 \\
0(-1) &1(-1)  &|  &1(-1) \\
0 &1  &  |&1
\end{bmatrix}\rightarrow  \begin{bmatrix}
1 &0  &|  &1 \\
0 &1  &|  &1 \\
0 &0  &  |&0
\end{bmatrix}$

Langkah-langkah yang kita lakukan pada metode Gauss-Jordan dikenal dengan operasi baris dasar (OBD). Untuk soal-soal perhiasan ihwal operasi baris dasar, Gengs sanggup membuka link berikut: Operasi Baris Dasar Terhadap Matriks


Semoga Bermanfaat

Sumber http://easy-matematika.blogspot.com

Share this post