Rumus Lengkap Integral Tak Tentu: Pola Dan Pembahasannya

Rumus Lengkap Integral Tak Tentu: Contoh dan Pembahasannya - Selamat sore teman , kali ini kita akan membahas tentang Integral Tak Tentu. Materi ini ada di kelas XII SMA yang biasanya sering keluar soalnya di Ujian Nasional (UN) SMA. Bukan hanya itu materi ini juga sering keluar di tes masuk sekolah tinggi tinggi SBMPTN. Maka dari itu dimohonkan teman menyimak pembahasan dibawah ini.

Google Image - Rumus Lengkap Integral Tak Tentu: Contoh dan Pembahasannya

Pada pembahasan sebelumnya kita sudah membahas perihal turunan. Sekarang ini kita akan membahas perihal integral. Integral sanggup diartikan sebagai antiturunan (antidiferensial) yang dimana dikala terdapat persamaan f(x) = 2x³ + C, maka turunannya f '(x) = 6x².

Bagaimana kalau kini kita balik fungsi f '(x) maka antiturunannya adalah f(x) atau bila diurai, tampak bahwa bila  f '(x) = xⁿ maka f(x) = 1 / (n + 1) xⁿ⁺¹ + c.

Integral Tak Tentu

Integral tak tentu adalah integral yang belum mempunyai batas bawah dan batas atas. Di bab diatas telah dijelaskan bahwa integral merupakan antiturunan. Jadi, apabila terdapat fungsi F(x) yang sanggup di diferensial pada interval [a, b] sehingga d(F(x)) / dx = f(x). Secara matematis sanggup ditulis sebagai berikut.

∫ f(x) dx = F(x) + c

Keterangan:   ∫ dx = lambang integral (antiturunan).

                       f(x) = fungsi integran, yaitu fungsi yang dicari antiturunannya.

                       c     = konstanta.

Persamaan diatas merupakan persamaan integral secara umum yang dimana integral (satu antiturunan untuk setiap nilai konstanta c). Persamaan diatas dipakai untuk pertanda teorema-teorema berikut yang akan membantu teman mengerjakan perhitungan integral.

Disini kita akan akan memperlihatkan 7 teorema yang sanggup teman gunakan untuk menghitung soal dari integral. Ketujuh teorema integral tak tentu sanggup dilihat ibarat gambar dibawah ini.

a. Teorema 1.
Jika n bilangan rasional dan n tidak sama dengan 0, maka

Pembuktian.
Untuk sanggup pertanda Teorema 1, teman sanggup mendiferensialkan xⁿ⁺¹ + c yang terdapat pada ruas kanan ibarat berikut.

b. Teorema 2.
Jika f fungsi yang terintegralkan dan k suatu konstanta, maka

c. Teorema 3.
Jika f dan g fungsi-fungsi yang terintegralkan, maka

d. Teorema 4.
Jika f dan g fungsi-fungsi yang terintegralkan, maka

Pembuktian.
Untuk sanggup pertanda teorema 4, teman sanggup mendiferensialkan ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx yang terdapat pada ruas kanan sebagai berikut.

Contoh 1.
Hitunglah integral dari ∫ (3x² - 3x + 7) dx!

Jawab

e. Teorema 5.
Aturan integral subtitusi
Jika u suatu fungsi yang sanggup di diferensialkan dan r suatu bilangan rasional tak 0 (nol), maka

di mana c yaitu konstanta dan r tidak sama dengan -1

f. Teorema 6.
Aturan integral parsial
Jika u dan v fungsi-fungsi yang sanggup di diferensialkan, maka

Pembuktian.
Pada pembahasan artikel sebelumnya turunan, teman telah mengetahui turunan hasil kali dua fungsi ∫ f(x) = u(x) . v(x) adalah d/dx [u(x)v(x)] = u(x) . v'(x) + v(x) . u'(x). Akan dibuktikan hukum integral parsial dengan rumus tersebut. Caranya yaitu dengan mengintegralkan kedua persamaan ibarat berikut.

g. Teorema 7.
Aturan integral trigonometri

di mana c yaitu konstanta.

Pembuktian.
Pada pembahasan artikel sebelumnya turunan, teman telah mengetahui turunan fungsi trigonometri, yaitu d/dx (sin x) = cos x, d/dx (cos x) = -sin x, dan d/dx (tan x) = sec² x.

Berikut ini akan dibuktikan aturan integral trigonometri memakai rumus tersebut. Cara yang dipakai yaitu dengan mengintegralkan kedua ruas ibarat berikut.

Aturan Integral Subtitusi

Integral subtitusi atau sama dengan yang tertulis diatas (Teorema 5). Aturan ini digunakan untuk memecahkan problem pengintegralan yang tidak sanggup diselesaikan dengan rumus-rumus dasar yang telah teman pelajari.

Contoh 2.
Hitunglah integral dibawah ini.

Jawab

a. Misalkan u = 9 - x², maka du = -2x dx
                                              x dx = du/-2

b. Misalkan u = √x = x½

c. Misalkan u = 1 - 2x², maka du = -4x dx
dx = du/-4x
sehingga integral tersebut sanggup ditulis sebagai berikut.

Integral dengan Bentuk √a² - x² , √a² + x² , √x² - a²

Integral dalam bentuk √a² - x² , √a² + x² , √x² - a² dapat diselesaikan dengan memakai metode subtitusi x = a sin t, x = a tan t, dan x = a sec t. Sehingga nantinya akan diperoleh ibarat berikut.

Tambahan juga integral trigonometri.

Contoh 3.
Hitunglah setiap integral berikut!

Jawab

a. Untuk mengerjakan integral ini, terlebih dahulu teman mengubah sin(3x + 1) cos(3x + 1) ke dalam rumus trigonometri sudut rangkap, yaitu

b.  Misalkan x = 3 sin t, maka sin t = x/3
                    dx = 3 cos t dt.
Sekarang perhatikan gambar segitiga dibawah ini.

Contoh 4.
Jika g'(x) = 2x - 3 dan g(2) = 1, tentukanlah persamaan g(x).

Jawab

Contoh 5.
Terdapat sebuah melalui titik (-2, 12) yang mempunyai gradien garis singgung dy/dx = 6x - 15. Tentukan persamaan kurva yang terbentuk.

Jawab

Jadi, persamaan kurva tersebut yaitu f(x) = 3x² - 15x - 30.

Rumus Lengkap Integral Tak Tentu: Contoh dan Pembahasannya - Mungkin hingga disini dulu ya pembahasan perihal Integral Tak Tentu. Semoga pembahasan singkat diatas sanggup bermanfaat bagi teman setia . Jika ada yang mau ditanyakan sanggup tinggalkan di kolom komentar dibawah ya. Untuk pembahasan Integral Tertentu dan Aplikasi dari Integral (Luas dan Volume) sanggup ikuti terus update artikel disini ya. Terimakasih atas perhatiannya, See You.

Sumber http://www.sainsseru.com/

Share this post