Kemiringan

MAKALAH  STATISTIK

TEORI PELUANG                                                                                                                                                   KEMENCENGAN ATAU KECONDONGAN

DI

S

U

S

U

n

oleh:

Nama          : Safriani

Nim             : 140130047

Mk              : Statistika Industri

                                     Dosen Pembimbing         :Fatimah, ST.,MT

Kata Pengantar

Puji syukur penyusun panjatkan ke hadirat Allah Subhanahu wata?ala, alasannya yakni berkat rahmat-Nya kami sanggup menuntaskan makalah yang berjudulTeori Peluang “ Kemencengan atau Kecondongan”. Makalah ini diajukan guna memenuhi kiprah mata kuliah Statistik

Kami mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu sehingga makalah ini sanggup diselesaikan tepat pada waktunya. Makalah ini masih jauh dari sempurna, oleh alasannya yakni itu, kritik dan saran yang bersifat membangun sangat kami harapkan demi sempurnanya makalah ini. 

Semoga makalah ini memperlihatkan gosip bagi masyarakat dan bermanfaat untuk pengembangan wawasan dan peningkatan ilmu pengetahuan bagi kita semua.

Lhokseumawe,  Oktober 2015

                                                                            DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR

DAFTAR ISI

BAB I PENDAHULUAN

1.1.   Latarbelakang

1.2.   Rumusan  Masalah

1.3.   Tujuan

BAB II PEMBAHASAN

2.1 Pengertian Kemiringan

2.2.Koefisien Kemencengan Pearson

2.3. Koefisien Kemencengan Bowley

2.4.Koefisien Kemencengan Persentil

2.5. Ukuran Kemiringan (skewness)

2.6. Rumus bowley

BAB III PENUTUP

3.1. Kesimpulan

DAFTAR PUSTAKA

BAB I

PENDAHULUAN

1.1.Latar belakang

 Teori peluang adalah cabang matematika yang bersangkutan dengan peluang, analisis fenomena acak. Obyek utama teori peluang yakni variabel acak, proses stokastik, dan kejadian: abstraksi matematis non-deterministik insiden atau kuantitas terukur yang sanggup berupa insiden tunggal atau berkembang dari waktu ke waktu dalam mode sepertinya acak. Jika koin individu melemparkan atau gulungan dadu dianggap insiden acak, maka kalau berkali-kali mengulangi urutan insiden acak akan memperlihatkan pola-pola tertentu, yang sanggup dipelajari dan diprediksi.

Dua hasil matematis representatif menggambarkan pola tersebut yakni aturan bilangan besar dan teorema limit pusat. Sebagai dasar matematika untuk statistik, teori peluang yakni penting untuk aktivitas insan banyak yang melibatkan analisis kuantitatif set besar data.

Metode teori peluang juga berlaku untuk deskripsi sistem yang kompleks diberikan pengetahuan hanya sebagian dari negara mereka, ibarat dalam mekanika statistik. Sebuah inovasi besar fisika abad kedua puluh yakni sifat peluang fenomena fisik pada skala atom, dijelaskan dalam mekanika kuantum . Dalam makalah ini saya akan menjelaskan wacana kemencengan atau kecondongan (Skewness) dan rumus-rumusnya  contohnya Rumus Pearson ,Rumus Momen , dan Rumus Bowley           

1.2  Rumusan Masalah

·         Apakah pengertian  kemiringan?

·         Bagaimana rumus kemiringan?

     

1.3  Tujuan

o   Untuk memenuhi kiprah dari dosen pada mata kuliah Statistika

o    Agar pembaca mengerti apa maksud  dan rumus dari Kemiringan atau kecondongan

BAB II

PEMBAHASAN

2.1.Pengertian Kemiringan

Kemencengan atau kecondongan (skewness) yakni tingkat ketidaksimetrisan

atau kejauhan simetri dari sebuah distribusi. Sebuah distribusi yang tidak simetris akan

memiliki rata-rata, median, dan modus yang tidak sama besarnya  sehingga distribusi akan terkonsentrasi pada salah satu sisi dan kurvanya akan menceng.

Jika distribusi mempunyai ekor yang lebih panjang ke kanan daripada yang ke kiri

maka distribusi disebut menceng ke kanan atau mempunyai kemencengan positif.

Sebaliknya, kalau distribusi mempunyai ekor yang lebih panjang ke kiri daripada yang ke

kanan maka distribusi disebut menceng ke kiri atau mempunyai kemencengan negatif.

Berikut ini gambar kurva dari distribusi yang menceng ke kanan (menceng

positif) dan menceng ke kiri (menceng negatif).

Untuk mengetahui bahwa konsentrasi distribusi menceng ke kanan atau menceng ke kiri, sanggup dipakai metode-metode berikut :

2.2.   Koefisien Kemencengan Pearson

Koefisien Kemencengan Pearson merupakan nilai selisih rata-rata dengan modus dibagi simpangan baku. Koefisien Kemencengan Pearson dirumuskan sebagai berikut:

Keterangan :

Sk = koefisien kemencengan pearson

Aoabila secar empiris didapatkan kekerabatan antarnilai pusat sebagai:

Maka rumus kemenccengan diatas sanggup dirubah menjadi:

Jika nilai sk dihubungkan dengan keadaan kurva maka:

1)      Sk =0                      kurva mempunyai bentuk simetris

2)      Sk>0                      Nilai-nilai terkonsentrasi pada sisi sebelah kanan (  terletak di sebelah kanan Mo), sehingga kurva mempunyai ekor memanjang ke kanan, kurva menceng ke kanan atau menceng positif;

3)      sk< 0                      Nilai-nilai terkonsentrasi pada sisi sebelah kiri (terletak di sebelah kiri Mo), sehingga kurva mempunyai ekor memanjang ke kiri, kurva menceng ke kiri atau menceng negatif.

Contoh soal :

Berikut ini yakni data nilai ujian statistik dari 40 mahasiswa sebuah universitas.

Nilai Ujian Statistika pada Semester 2, 2010

a) Tentukan nilai sk dan ujilah arah kemencengannya (gunakan kedua rumus tersebut) !

b) Gambarlah kurvanya !

Penyelesaian:

Oleh alasannya yakni nilai sk-nya negatif (-0,46) maka kurvanya menceng ke kiri atau menceng negatif.

b. Gambar kurvanya :     

2.3. Koefisien Kemencengan Bowley

Koefisien kemencengan Bowley menurut pada kekerabatan kuartil-kuartil (Q1, Q2 dan Q3) dari sebuah distribusi. Koefisien kemencengan Bowley dirumuskan :

Koefisien kemencengan Bowley sering juga disebut Kuartil Koefisien

Kemencengan.Apabila nilai sk_B dihubungkan dengan keadaan kurva, didapatkan :

1) Jika Q3 – Q2 > Q2 – Q1 maka distribusi akan menceng ke kanan atau menceng secara

positif.

2) Jika Q3 – Q2 < Q2 – Q1 maka distribusi akan menceng ke kiri atau menceng secara

negatif.

3) sk_B positif, berarti distribusi mencengke kanan.

4) sk_B negatif, nerarti distribusi menceng ke kiri.

5) sk_B = ± 0,10 menggambarkan distribusi yang menceng tidak berarti dan sk_B> 0,30

menggambarkan kurva yang menceng berarti.

Contoh soal :

Tentukan kemencengan kurva dari distribusi frekuensi berikut :

Nilai Ujian Matematika Dasar I dari 111 mahasiswa, 1997

Karena sk_B negatif (=−0,06) maka kurva menceng ke kiri dengan kemencengan yang berarti.

2.4 Koefisien Kemencengan Persentil

Koefisien Kemencengan Persentil didasarkan atas kekerabatan antar persentil (P₉₀,P₅₀ dan P₁₀) dari sebuah distribusi. Koefisien Kemencengan Persentil dirumuskan :\

Keterangan :

sk_P = koefisien kemecengan persentil , P = persentil

4. Keofisien Kemencengan Momen

Koefisien Kemencengan Momen didasarkan pada perbandingan momen ke-3

dengan pangkat tiga simpang baku. Koefisien menencengan momen dilambangkan

dengan α₃. Koefisien kemencengan momen disebut juga kemencengan relatif.

Apabila nilai α₃dihubungkan dengan keadaan kurva, didapatkan :

1) Untuk distribusi simetris (normal), nilai α₃= 0,

2) Untuk distribusi menceng ke kanan, nilai α₃ = positif,

3) Untuk distribusi menceng ke kiri, nilai α₃= negatif,

4) Menurut Karl Pearson, distribusi yang mempunyai nilai α₃> ±0,50 yakni distribusi

yang sangat menceng

5) Menurut Kenney dan Keeping, nilai α₃ bervariasi antara ± 2 bagi distribusi yang menceng.

Untuk mencari nilai α₃, dibedakan antara data tunggal dan data berkelompok.

a. Untuk data tunggal

Koefisien Kemencengan Momen untuk data tunggal dirumuskan :

α₃ = koefisien kemencengan momen

b. Untuk data berkelompok

Koefisien kemencengan momen untuk data berkelompok dirumuskan :

2.5.Ukuran Kemiringan (skewness)

    Merupakan derajat atau ukuran dari ketidaksimetrisan (Asimetri) suatu distribusi data. Kemiringan distribusi data terdapat 3 jenis, yaitu :

    Simetris : memperlihatkan letak nilai rata-rata hitung,
median, dan modus berhimpit (berkisar disatu
titik)
    Miring ke kanan : mempunyai nilai modus paling
kecil dan rata-rata hitung
paling besar
    Miring ke kiri : mempunyai nilai modus paling
besar dan rata-rata hitung paling kecil

Kemiringan              simetri (normal)             kemiringan                 Negatif                              positif


Untuk mengukur derajat kecondongan suatu distribusi dinyatakan dengan koefisien kecondongan (koefisien skewness).Ada tiga metode yang sanggup dipakai untuk menghitung koefisien skewness yaitu :

    Rumus pearson

 = 1/S (X ̅ - Mod)   Atau  = 3/S (X ̅ – Med)



    Rumus Momen

    Data tidak berkelompok

3 = 1/〖nS〗^2  ∑ ( X1 X ̅ )3


    Data Berkelompok

3 = 1/〖nS〗^3  ∑f i( mi - X ̅ )3

Keterangan
3    = derajat kemiringan
x1    = nilai data ke – i
 X ̅     = nilai rata-rata hitung
Fi    = frrekuensi nilai ke i
M1    = nilai titik tengah kelas ke-i
S    = Simpangan Baku
N    = Banyaknya data
Jika    3 = 0 distribusi data simetris
    3 < 0 distribusi data miring ke kiri
    3 > 0 distribusi data miring ke kanan

   2.6. Rumus bowley
Rumus ini memakai nilai kuartil :

    3 =  (Q_3+ Q_1- 2Q_2)/(Q_3- Q_1 )
Keterangan :
Q1        = kuartil pertama
Q2        = Kuartil Kedua
Q3        = Kuaril Ketiga


Cara memilih kemiringannya :
    Jika Q3 – Q2  =  Q2 – Q1 sehingga Q3 + Q1 -2Q2 = 0 yang mengakiibatkan 3 = 0, sebaliknya kalau distribusi miring maka ada dua kemungkinan yaitu Q1 = Q2 atau Q2 = Q3, dalam hal Q1 = Q2 maka 3 = 1 , dan untuk Q2 = Q3 maka 3 = -1


Ukuran kemiringan data merupakan ukuran yang pertanda apakah penyebaran data terhadap nilai rata-ratanya bersifat simetris atau tidak. Ukuran kemiringan intinya merupakan ukuran yang menjelaskan besarnya penyimpangan data dari bentuk simetris. Suat distribusi frekuensi yang miring (tidak simetris) akan mempunyai nilai mean, median dan modus yang tidak sama besar (X ̅ ≠ Md ≠ Mo) sehinggan distribusi akan memusat pada salah satu sisi yaitu sisi kanan atau sisi kiri. Hal ini yang mengakibatkan bentuk kurva akan miring ke kanan atau ke kiri. Jika kurva miring ke arah kanan (ekornya memanjang ke arah kiri) disebut kemiringan positif, dan kalau kurva miring ke arah kiri (ekornya memnjang ke arah kanan) disebut kemiringan negatif.

Analisis masalah :
Cara perhitungan koefisien kecondongan dengan metode
Pearson dari data penghasilan keluarga
penghasila keluarga    X    f    U    fU    Fu2
10-22    16    5    -3    -15    225
23-35    29    6    -2    -12    144
36-48    42    13    -1    -13    169
49-61    55    19    0    0    0
62-74    68    11    1    11    121
75-87    81    11    2    22    484
88-100    94    5    3    15    225
Jumlah        70        ∑ fU = 8    ∑ fU2 = 1368


Sebelum memakai rumus terlebih dahulu dicari nilai , mean, median, dan standar deviasinya berikut ini:
Mean :
 X ̅ = A + ((∑▒〖f.U〗)/n) . i
        X ̅ = 55 + (8/70) . 3
 X ̅ = 56,485

Median :
    Med = Tkbmd + ((1/2  n-fkb)/fmd) . i

Med = 48.5 + ((35-24)/19) . 13
Med = 48.5 + 7,526
Med = 56,026

Standar Deviasi :
       
        S = i √((n∑f.U^2-(∑f.U^2))/(n(n-1)))
            S = 13 √(((70)-(1368)-(〖8)〗^2)/(70(70-1)))
            S = 13 √19,81
            S = 57,86

Setelah kita dapatkan nilai-nilai diatas, lalu dimasukan ke dalam rumus koefisein skewness :
α = 3/S (X ̅ - Med)

α = 3/57,86 ( 56,485 – 56,026)

α = 0,0238

dari hasil perhitungan pertanda bahwa koefisien skewness menghasilkan nilai positif, itu berarti distribusi frekuensi mempunyai bentuk kemiringan yang positif yaitu miring ke arah kanan

                                                            BAB III
                                                         PENUTUP

    KESIMPULAN

Dari data di atas kita sanggup menyimpulkan bahwa

·         Kemencengan atau kecondongan (skewness) yakni tingkat ketidaksimetrisan atau kejauhan simetri dari sebuah distribusi

·         Koefisien Kemencengan Pearson merupakan nilai selisih rata-rata dengan modus dibagi simpangan baku.

·         Koefisien kemencengan Bowley menurut pada kekerabatan kuartil-kuartil (Q1, Q2 dan Q3) dari sebuah distribusi

·         Koefisien Kemencengan Persentil didasarkan atas kekerabatan antar persentil (P₉₀,P₅₀ dan P₁₀) dari sebuah distribusi

Sumber http://lussychandra.blogspot.com

Share this post