Aturan Rantai Pada Turunan Trigonometri

Sebagaimana turunan aljabar. Pada turunan trigonometri juga berlaku turunan rantai. Meingatkan kembali Rumus dasar  turunan rantai fungsi trigonometri ini menyerupai berikut,

i). $ y = \sin g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . \cos g(x) $
ii). $ y = \cos g(x) \rightarrow y^\prime = -g^\prime (x) .\sin g(x) $
iii). $ y = \tan g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . \sec ^2 g(x) $
iv). $ y = \cot g(x) \rightarrow y^\prime = -g^\prime (x). \csc ^2 g(x) $
v). $ y = \sec g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . \sec g(x) . \tan g(x) $
vi). $ y = \csc g(x) \rightarrow y^\prime = -g^\prime (x) . \csc g(x) . \cot g(x) $

Untuk turunan rantai dengan pangkat dari fungsi trigonometri ini, berlaku rumus:
i). $ y = \sin ^{n } g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . n . \sin ^{n-1} g(x) . \cos g(x) $
ii). $ y = \cos ^{n } g(x) \rightarrow y^\prime = -g^\prime (x) .n. \cos ^{n -1 } g(x) . \sin g(x) $
iii). $ y = \tan ^{n } g(x) \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . n \tan ^{n - 1 } g(x) . \sec ^2 g(x) $
iv). $ y = \cot ^{n } g(x) \rightarrow y^\prime = -g^\prime (x). n. \cot ^{n -1} g(x) . \csc ^2 g(x) $
v). $ y = \sec ^{n } g(x) $
$ \rightarrow y^\prime = g^\prime (x) . n. \sec ^{n -1 } g(x) . \sec g(x) . \tan g(x) $
vi). $ y = \csc ^{n } g(x) $
$ \rightarrow y^\prime = -g^\prime (x) . n.\csc ^{n -1} g(x) . \csc g(x) . \cot g(x) $

Note: bentuk $ \cos ^{n } g(x) = [\cos g(x) ]^n $
Agar memudahkan pemahaman penggunaan rumus turunan rantai trigonometri di atas, kita akan coba aplikasikan dalam bentuk pola soal dan pembahasan turunan rantai pada trigonometri.

Soal 1. Tentukan turunan dari $ y = \sin (3x^2 + 2x - 5) $

Pembahasan:
Kita ambil permisalan: $$ g(x) = 3x^2 + 2x - 5 \\ jadi \\ g^\prime (x) = 6x + 2 $$ Selanjutnya gunakan rumus turunan trigonometri. Sehingga kita dapat tulis. $$ y = \sin ^{n } g(x) \\ y^\prime = g^\prime (x) . n . \sin ^{n-1} g(x) . \cos g(x) \\ y = \sin (3x^2 + 2x - 5) \\ y = \sin g(x) \\ y^\prime = g^\prime (x) . \cos g(x) \\ y^\prime = (6x + 2) . \cos (3x^2 + 2x - 5) $$

Soal 2. Tentukan Turunan dari $ y = \cot ( x^2 - x + 7 ) $

Pembahasan:
Kita ambil permisalan: $$ g(x) = x^2 - x + 7 \\ g^\prime (x) = 2x-1 $$ Selanjutnya gunakan rumus turunan rantai trigonometri, sehingga dapat ditulis $$ y = \cot ( x^2 - x + 7 ) \\ y = \cot g(x) \\ y^\prime = -g^\prime (x). \csc ^2 g(x) \\ y^\prime = -(2x-1) . \csc ^2 (x^2 - x + 7) $$

Soal 3. Tentukan turunan dari $ y = \sec ( 5x^3 + 9 ) $

Pembahasan:
Silakan anda coba sendiri menyelesaikannya. Jika proses yang anda lakukan benar, akan diperoleh hasil: $$ y^\prime = 15x^2 \sec ( 5x^3 + 9 ) \tan ( 5x^3 + 9 ) $$

Soal 4. Turunan dari $$ a) \ y = \cos ^ 3 (2x^3 - 5x + 2) \\ b) \ $ y = \csc ^ 5 ( x^4 + 5) $$

Pembahasan:
a) Kita misalkan $$ g(x) = 2x^3 - 5x + 2 \\ g^\prime (x) = 6x - 5 $$
Gunakan rumus turunan rantai trigonometri, $$ y = \cos ^{n } g(x) \\ y^\prime = -g^\prime (x) .n. \cos ^{n -1 } g(x) . \sin g(x)$$

Masukkan g(x) dan g’(x) , $$ y = \cos ^ 3 (2x^3 - 5x + 2) \\ y = \cos ^{n } g(x) \\ y^\prime = -g^\prime (x) .n. \cos ^{n -1 } g(x) . \sin g(x) \\ y^\prime = -(6x-5) . 3 . \cos ^{3 -1 } (2x^3 - 5x + 2) . \sin (2x^3 - 5x + 2) \\ y^\prime = -(18x-15) \cos ^{2 } (2x^3 - 5x + 2) \sin (2x^3 - 5x + 2) $$
Pada soal pilihan ganda, hasil selesai di atas dapat saja diubah dalam bentuk lain. Misalnya, coba ingat kembali trigonometri sudut ganda. $$ \sin 2 g(x) = 2 \sin g(x) \cos g(x) \\ \sin g(x) \cos g(x) = \frac{1}{2} \sin 2 g(x) $$ Dari hasil yang diperoleh kita dapat tulis, $$ y^\prime = -(18x-15) \cos ^{2 } (2x^3 - 5x + 2) \sin (2x^3 - 5x + 2) \\ = -(18x-15) \cos (2x^3 - 5x + 2) \cos (2x^3 - 5x + 2) \sin (2x^3 - 5x + 2) \\ = -(18x-15) \cos (2x^3 - 5x + 2) [\cos (2x^3 - 5x + 2) \sin (2x^3 - 5x + 2) ] \\ = -(18x-15) \cos (2x^3 - 5x + 2) [\frac{1}{2}.\sin 2(2x^3 - 5x + 2) ] \\ = -(18x-15) \cos (2x^3 - 5x + 2) [\frac{1}{2}.\sin (4x^3 - 10x + 4) ] \\ = -\frac{1}{2}(18x-15) \cos (2x^3 - 5x + 2) . \sin (4x^3 - 10x + 4) $$

b) Untuk soal b yaitu bab anda untuk berlatih. Langkahnya silakan ikuti menyerupai yang a. Jika proses yang dilakukan benar akan diperoleh tanggapan $$ y^\prime = -(5x^4+25) \csc ^{4} ( x^4 + 5) \csc ( x^4 + 5) \cot ( x^4 + 5) $$

Soal 5. Turunan dari fungsi trigonometri $ y = \sqrt{ \sin (x^2 + 5x - 1) } $ adalah…

Pembahasan:
Kita ubah dulu fungsinya dalam bentuk pangkat$$ y = \sqrt{ \sin (x^2 + 5x - 1) } \\ y = [\sin (x^2 + 5x - 1)]^\frac{1}{2} $$
Selanjutnya kita buat permisalan, $$ g(x) = x^2 + 5x - 1 \\ g^\prime (x) = 2x + 5 $$
Gunakan rumus turunan rantai trigonometri lagi $$ y = \sin ^{n } g(x) \\ y^\prime = g^\prime (x) . n . \sin ^{n-1} g(x) . \cos g(x) $$

Masukkan nilai g(x) dan g’(x). $$ y = [\sin (x^2 + 5x - 1)]^\frac{1}{2} \\ y^\prime = (2x + 5) . \frac{1}{2} . [\sin (x^2 + 5x - 1) ]^{\frac{1}{2}-1} . \cos (x^2 + 5x - 1) \\ = (2x + 5) . \frac{1}{2} . [\sin (x^2 + 5x - 1) ]^{-\frac{1}{2}} . \cos (x^2 + 5x - 1) \\ = (2x + 5) . \frac{1}{2} . \frac{1}{[\sin (x^2 + 5x - 1) ]^{\frac{1}{2}}} . \cos (x^2 + 5x - 1) \\ = (2x + 5) . \frac{1}{2} . \frac{1}{ \sqrt{ \sin (x^2 + 5x - 1) }} . \cos (x^2 + 5x - 1) \\ = \frac{(2x + 5)\cos (x^2 + 5x - 1) }{ 2\sqrt{ \sin (x^2 + 5x - 1) }} $$ 

Soal 6. Sebagai latihan terakhir bagi Anda, tentukan turunan dari $$y = \sqrt{ \cos ^ 5 (3x^2 - 2x ) } $$ Silakan ikuti proses menyerupai soal nomer 5. Bilasaja anda dapat melaksanakan proses dengan benar akan diperoleh hasil : $$ y^\prime = -(15x-5) \sqrt{\cos ^3 (3x^2 - 2x)} \sin (3x^2 - 2x) $$

Sumber http://www.marthamatika.com/

Share this post