Cara Memilih Invers Kiri Dan Invers Kanan Matriks

Pada pembahasan invers sebuah matriks perlu diketahui mengenai syarat sebuah matriks mempunyai invers atau tidak. Kapan sebuah matriks dikatakan mempunyai invers? Jawabannya ialah dikala determian matriks tersebut tidak nol. Dalam teorinya sanggup dikatakan,  Untuk matriks A (nxn) mempunyai invers B (nxn) kalau dan hanya kalau AB=BA = I, I ialah matriks identitas.

Namun bagaimana kalau baris dan kolom matriks tidak sama? Apakah sebuah matriks dengan baris dan kolom yang tidak sama mempunyai invers? Mungkin saja!. Sesuai dengan ketentuan matriks bila AB = I maka salah satunya ialah invers.

Ketika sebuah matriks mempunyai banyak baris dan kolom tidak sama, disini dikenal adanya invers kiri dan invers kanan matriks. Untuk lebih memahami apa itu invers kiri dan invers kanan sebuah matriks mari kita lihat pola soal invers kiri dan invers kanan matriks tersebut.

Contoh Soal dan Pembahasan Invers kiri dan Invers Kanan Matriks

Contoh 1 : Menentukan Invers Kiri dan Invers Kanan Matriks.

Misalkan diketahui Matriks $A =  \begin{pmatrix}1 &2 \\ 1 & 3\\4 &7\end{pmatrix}$

$dan matriks B =  \begin{pmatrix}1 &  -2& 0\\ -1&  1& 0\end{pmatrix}$.

$AB = \begin{pmatrix}1 &2 \\1 & 3\\4 &7\end{pmatrix}  \begin{pmatrix}1 &  -2& 0\\ -1&  1& 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 &  0& 1\\0 &  1& 0\\5 & -1 & 0\end{pmatrix}$.

Hasil perkalian matriks yang didapat bukanlah matriks identitas. Sekarang coba kita cari BA.

$BA =  \begin{pmatrix}1 &  -2& 0\\ -1&  1& 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 &2 \\1 & 3\\4 &7 \end{pmatrix}   = \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0& 1\end{pmatrix}$. 

Hasil perkalian BA menghasilkan matriks identitas. Dengan begitu sanggup dikatakan B ialah invers kiri dari A. ( dikala dikalikan dengan A, dan posisinya di KIRI maka didapat matriks identitas). Berdasarkan pola 1, sanggup kita menciptakan defenisi invers kiri atau invers kanan dari matriks adalah:

A matriks mxn dan B ialah matriks berukuran nxm. B invers kiri dari A kalau dan hanya kalau BA = I. B invers kanan dari A kalau dan hanya kalau AB = I.

Contoh 2 : Mencari  invers kanan sebuah matriks.

Jika $matriks A =\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 2\\ 0 &1  &3  &4 \\  1& 1 &4  &2 \end{pmatrix}$. 

Tentukan invers kanan dari matriks tersebut!

Sesuai defenisi di atas, invers kanan dari matriks A ialah sebuah matrik (misalkan B) dimana AB = I. Karena ukuran matriks A 3x4 maka matriks B yang bersesuaian ialah apabila ukuran matriks tersebut 4x3. Dan bila dikalikan akan membentuk matriks identitas berukuran 3x3.

Untuk mencari matriks tersebut kita gunakan OBE (operasi baris elementer matriks A. Sehingga kita akan peroleh menyerupai berikut,

Karena cuilan kiri (ambil yang 3x3 saja) maka Invers kanan matriks tersebut ialah cuilan yang kanan dan ditambahkan suatu baris final 0,0,0 (selalu ; alasannya ialah kita butuh amtriks B yang berukuran 4x3 yaitu:

$A=\begin{pmatrix}1 & 0 &0 \\ 3 & 4 & -3\\  -1& -1 & 1\\ 0&0&0 \end{pmatrix}$.

Untuk mengambarkan apakah ini benar atau salah, sanggup dilakukan AB =I.

Contoh 3 : Mencari invers kiri matriks.

Diketahui matriks 

$A=\begin{pmatrix}1 &0 \\ 1&2 \\  0& 1 \end{pmatrix}$ . 

Tentukan Invers kiri Matriks A tersebut!

Karena A berukuran 3x2, dan diminta invers kiri. Maka akan dicari matriks B yang memenuhi BA = I. Syaratnya tentu saja semoga sanggup dikalikan ukuran matriks B 2x3 dan diperoleh matriks identitas I dengan ukuran 2x2.

Sebab yang akan dicari ialah matriks I 2x2 maka matriks A harus ditranspos terlebih dahulu. Tujuannya semoga jumlah baris A sesuai dengan jumlah baris I yang diinginkan.

Dengan begitu kita tahu invers dari transpose A ialah :

$Invers A^{t}=\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2}\\0 & -\frac{1}{2} \\0& 0 \end{pmatrix}$

Ingat kita tambahkan satu baris dengan nilai entri 0.

Karena yang kita inginkan invers A, kita Transpose-kan kembali ‘invers transpose A’ tadi. Dan diperolehlah

$Invers- kiri A=\begin{pmatrix} 1&  0&0 \\ -\frac{1}{2}& \frac{1}{2} & 0\end{pmatrix} $.

Itulah pembahasan mengenai invers kiri dan invers kanan suatu matriks. Jika ada pertanyaan silahkan berkomentar.

Sumber http://www.marthamatika.com/

Share this post