Matriks - Metode Minor Kofaktor
Metode Sarrus hanya sanggup dipakai untuk matriks 3x3. Perhitungan determinan suatu matriks dengan ukuran lebih besar sangat rumit kalau memakai metode Sarrus. Salah satu cara menentukan determinan matriks segi ialah denga minor-kofaktor elemen matriks tersebut.
Cara ini dijelaskan sebagai berikut:
Misalkan $A_{ij}$ ialah suatu matriks yang diperoleh dengan cara menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j dari suatu matriks $A_{mxn}$.
Didefinisikan sebagai berikut:
- Minor elemen $a_{ij}$ diberi notasi $M_{ij}$, ialah $M_{ij}=det(A_{ij})$.
- Kofaktor elemen $a_{ij}$, diberi notasi $\alpha _{ij}$, ialah $\alpha _{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$.
Contoh:
Misalkan suatu matriks A berukuran 3x3 menyerupai berikut ini:
$\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 4 &5 &6 \\ 7 &8 &9 \end{pmatrix}$
maka diperoleh:
Perhitungan Determinan dengan Minor-Kofaktor
Definisi: Misalkan suatu matriks A = $(a_{ij})_{nxn}$ dan $a_{ij}$ kofaktor elemen $a_{ij}$, maka:
Contoh 1:
Hitunglah determinan matriks berikut"
$\begin{pmatrix} 3 &-2 &1 \\ 1 &3 &2 \\ 0 &-3 &1 \end{pmatrix}$
Jawab:
Untuk menghitung determinan dari matriks tersebut kita gunakan definisi diatas, dengan menentukan baris ke-2, sehingga:
$det(A)=a_{21}\alpha _{21}+a_{22}\alpha _{22}+a_{23}\alpha _{23}$
Dalam hal ini, $a_{21}=1,a_{22}=3, a_{23}=2$, dan
Dalam hal ini, $a_{21}=1,a_{22}=3, a_{23}=2$, dan
Jadi, det(A)=1(-1) + 3(3) + 2(9) = 26
Selanjutnya dengan memakai definisi diatas lagi, kita juga sanggup dengan menentukan baris/kolom lainnya, misal dipilih kolom ke-3, maka:
$det(\mathbf{A})=a_{13}\alpha _{13}+a_{23}\alpha _{23}+a_{33}\alpha _{33}$
dalam hal ini,$a_{13}=1,a_{23}=2,a_{33}=1$, dan
dalam hal ini,$a_{13}=1,a_{23}=2,a_{33}=1$, dan
Jadi, det(A) = 1(-3) + 2(9) + 1(11) = 26
Apabila kita perhatikan pada hasil selesai pada penyelesaiannya, kita akan dapatkan hasil yang sama. Maka kita cukup menentukan satu baris atau kolom saja untuk mengerjakan soal menyerupai diatas.
Contoh 2:
Tentukan determinan matriks $A_{3x3}$ berikut ini:
$\begin{pmatrix} a_{11} &a_{12} &a_{13} \\ a_{21} &a_{22} &a_{23} \\ a_{31} &a_{32} &a_{33} \end{pmatrix}$
Jawab:
Dengan memakai definisi diatas, dengan menentukan baris ke-1
Dengan memakai definisi diatas, dengan menentukan baris ke-1
Makara didapatkan menyerupai dibawah ini:
Jika diperhatikan Sebenarnya, rumus pada metode Sarrus diperoleh dari metode minor-kofaktor.
Perhatikan bahwa tanda untuk kofaktor bergantung pada penjumlahan i dan j. Untuk memudahkan perhitungan determinan dengan memakai minor-kofaktor, perhatikan tabel berikut:
Jika dipilih baris ke-1, maka: $det(A)=a_{11}M_{11}-a_{12}M_{12}+...$
Jika dipilih baris ke-2, maka: $det(A)=-a_{21}M_{21}-a_{22}M_{22}+...$
dan seterusnya.
Semoga Bermanfaat
0 Response to "Matriks - Metode Minor Kofaktor"
Posting Komentar