Rangkuman - Irisan Kerucut Dalam Koordinat Cartesius [Kalkulus]

1. Irisan Kerucut dalam Koordinat Cartesius

Kurva parabola, elips, dan hiperbola disebut irisan kerucut atau konik sebab sanggup diperoleh dengan cara mengiriskan sebuah kerucut dengan suatu bidang datar.

Parabola

Definisi dari parabola

Parabola yakni himpunan titik-titik di suatu bidang datar yang berjarak sama dari suatu titik tetap F (disebut fokus) dan suatu garis tetap i (disebut direktriks atau garis arah).

Garis yang melalui fokus dan tegak lurus diretriks  disebut sumbu parabola. Titik potong antara parabola dan sumbu parabola disebut klimaks parabola.

Kita peroleh persamaan parabola yang paling sederhana jikalau kita tempatkan titik puncaknya di titik asal O dan direktriksnya sejajar dengan sumbu-x atau sumbu-y. Jika fokusnya yakni titik (0,p) maka direktriksnya mempunyai persamaan y = - p. Grafik parabola membuka ke atas jikalau p > 0 dan membuka ke bawah jikalau p < 0. Jika fokusnya yakni titik (p,0) maka rektriksnya mempunyai persamaan x = - p. Grafik parabola membuka ke kanan jikalau p > 0 dan membuka ke kiri jikalau p <0.

Kita perhatikan parabola dengan fokus di F = (0,p). Jika P(x,y) yakni sembarang titik pada parabola, maka jarak dari P ke fokus adalah
$\left | PF \right |=\sqrt{(x-0)^2 +(y-p)^2}$
dan jarak dari P ke direktriks yakni |y + p|.
Dengan menyamakan kedua jarak ini maka kita peroleh persamaan parabola $x^2 =4py$

Teorema 1

Persamaan parabola dengan fokus (0,p) dan direktriks y = - p yakni $x^2 =4py$. Persamaan parabola dengan fokus (p,0) dan direktriks x = - p yakni $y^2 =4px$.

Elips

Definisi dari elips

Elips yakni himpunan titik-titik di suatu bidang datar dimana jumlah jarak dari titik itu ke dua titk tetap $F_{1}$ dan $F_{2}$ (disebut fokus) yakni konstan.

Kaprikornus elips mempunyai dua fokus.

Salah satu hukum Kepler menyampaikan bahwa orbit planet-planet dalam sistem tatasurya yakni berbentuk elips dengan matahari sebagai salah satu fokusnya.

Elips mempunyai sifat pencerminan yang menarik. Jika sebuah sumber cahaya atau bunyi diarahkan ke salah satu fokus suatu cerminan berbentuk elips, maka cahaya atau bunyi tersebut dipantulkan dari permukaan cermin ke fokus lainnya.

Untuk memperoleh persamaan paling sederhana dari suatu elips, kita letakkan ke dua fokusnya pada sumbu-x atau sumbu-y, sehingga titik sentra elips (titik yang berada di tengah-tengah kedua fokusnya) berada di titik  asal O.

Kita perhatikan elips dengan fokus di titik $F_{1}(-c,0)$ dan $F_{2}(c,0)$. Jika P(x,y) yakni sembarang titik pada elips, maka jumlah jarak dari P ke fokus $F_{1}$ dan $F_{2}$ yakni konstan, misalkan 2a, dengan a > 0. Kaprikornus kita peroleh $\left | PF_{1} \right |+\left | PF_{2} \right |=2a$, atau
$\sqrt{(x+c)^2 +y^2}+\sqrt{(x-c)^2 +y^2}=2a$
Jika $b=\sqrt{a^2 -c^2}$, maka persamaan di atas sanggup disederhanakan menjadi
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
Karena $b^2 =a^2 -c^2< a^2$ maka $0< b< a$. Titik potong elips dengan sumbu-x diperoleh dengan mengambil y = 0, yaitu di titik (a,0) dan (-a,0). Kedua titik ini disebut puncak elips dan garis yang menghubungkannya disebut sumbu mayor elips.

Titik potong elips dengan sumbu-y terjadi dikala x = 0, yaitu di titik (0,b) dan (0,-b). Garis yang menghubungkan ke dua titik ini disebut sumbu minor elips.

Teorema 2

1. Persamaan elips dengan fokus $(\pm c,0)$ dan klimaks $(\pm a,0)$ yakni $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,a\geq b> 0$ dengan $b^2 =a^2 -c^2$.

2. Persamaan elips dengan fokus $(0,\pm c)$ dan klimaks $(0,\pm a)$ yakni $\frac{x^2}{b^2}+\frac{y^2}{a^2}=1,a\geq b> 0$ dengan $b^2=a^2-c^2$.

Jika suatu elips mempunyai fokus $(\pm c,0)$ dan klimaks $(\pm a,0)$ atau fokus $(0,\pm c)$ dan klimaks $(0,\pm a)$, maka bilangan e = c/a disebut keeksentrikan dari elips yang bersangkutan.

Batasan nilai e a yakni $0\leq e< 1$. Jika e = 0 maka elips tersebut yakni lingkaran, dan semakin bersahabat nilai e ke 1 maka bentuk elips yang bersangkutan semakin kurus panjang.

Hiperbola

Definisi dari Hiperbola

Hiperbola yakni himpunan titik-titik di suatu bidang datar di mana selisih jarak dari titik itu ke dua titik tetap $F_{1}$ dan $F_{2}$ (disebut fokus) yakni konstan.

Jadi, ibarat elips, hiperbola juga mempunyai dua fokus.

Untuk memperoleh persamaan paling sederhana dari suatu hiperbola, kita letakkan ke dua fokusnya pada sumbu-x atau sumbu-y, sehingga titik simetris hiperbola (titik yang berada ditengah-tengah kedua fokusnya) berada di (0,0).

Kita perhatikan suatu hiperbola dengan fokus di titik $F_{1}(-c,0)$ dan $F_{2}(c,0)$. Jika P(x,y) yakni sembarang titik pada hiperbola, maka selisih jarak dari P ke fokus $F_{1}$ dan $F_{2}$ yakni konstan, misalkan $\pm 2a$, dengan a > 0. Kaprikornus kita peroleh , atau
$\left | PF_{1} \right |-\left | PF_{2} \right |=\pm 2a$
Jika $b=\sqrt{c^2-a^2}$, maka persamaan diatas sanggup disederhanakan menjadi
$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$
Titik potong hiperbola dengan sumbu-x diperoleh dengan mengambil y = 0, yaitu di titik (a,0) dan (-a,0). Kedua titik ini disebut puncak hiperbola. Jika kita ambil x = 0, maka $y^2 = -b^2$, sehingga tidak ada bilangan real yang memenuhi. Kaprikornus hiperbola di atas tidak memotong sumbu-y.

Teorema 3

1. Hiperbola
$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$
mempunyai fokus $(\pm c,0)$ dengan $c^2=a^2+b^2$, klimaks $(\pm a,0)$, asimtot $y=\pm (b/a)x$
2. Hiperbola
$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$
mempunyai fokus $(0,\pm c)$ dengan $c^2=a^2+b^2$, klimaks $(0,\pm a)$, dan asimtot $y=\pm (a/b)x$

Irisan Kerucut yang Digeser

Sejauh ini, kita meletakkan irisan kerucut pada sebuah sistem koordinat dalam kedudukan yang istimewa, yaitu sumbu panjangnya berimpit dengan salah satu sumbu koordinat, serta memakai titik asal (0,0) sebagai: puncak parabola, titik sentra elips, dan titk simetris hiperbola.

Sekarang kita bahas persamaan irisan kerucut dengan kedudukan yang lebih umum, tetapi sumbu panjangnya masih sejajar dengan salah satu sumbu koordinat. Persamaan yang lebih umum ini sanggup diperoleh dengan teknik penggeseran (translasi)

Jika parabola $x^2 =4py$ digeser ke kanan sejauh h dan digeser ke atas sejauh k, maka kita peroleh persamaan parabola dengan x dan y diganti berturut-turut x - h dan y - k, yaitu $(x-h)^2 =4p(y-k)$
Dengan demikian, Teorema 1 sanggup diperumum sebagai berikut.

Teorema 4

Parabola $(x-h)^2 =4p(y-k)$ mempunyai fokus di $(h,p+k)$ dan direktriks y = k - p. Parabola $(y-k)^2 =4p(x-h)$ mempunyai fokus di (p + h, k) dan direktriks x = h - p.

Perhatikan bahwa pada Teorema 1 puncak parabola berada di titik asal (0,0), tetapi pada Teorema 4 puncak parabola berada di titik (h,k). Kaprikornus Teorema 1 yakni bentuk khusus dari teorema 4, yaitu untuk kasisi mana h = 0 dan k = 0.

Sehingga parabola pada Teorema 4 sanggup diperoleh dengan menggeser klimaks parabola pada teorema 1 dari titik asal (0,0) ke titik (h,k). Oleh sebab itu, parabola yang gres disebut irisan kerucut yang digeser.

Untuk fatwa serupa yang diterapkan untuk elips, maka Teorema  2 sanggup diperumum sebagai berikut

Teorema 5

1. Elips
$\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1,a\geq b> 0$
mempunyai fokus $(h\pm c,k)$ dan klimaks $(h\pm a,k)$, dengan $c=\sqrt{a^2 -b^2}$
2. Elips
$\frac{(x-h)^2}{b^2}-\frac{(y-k)^2}{a^2}=1,a\geq b> 0$
mempunyai fokus di $(h,k\pm c)$ dan klimaks $(h,k\pm a)$, dengan $c=\sqrt{a^2 -b^2}$

Perhatikan bahwa titik sentra elips pada Teorema 5 yakni di titik (h,k) .

Teorema 6

1. Hiperbola
$\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$
mempunyai fokus $(h\pm c,k)$ dengan $c^2=a^2 +b^2$, klimaks $(h\pm a,k)$, dan asimtot $y=\pm (b/a)x$.
2. Hiperbola
$\frac{(y-k)^2}{a^2}-\frac{(x-h)^2}{b^2}=1$
mempunyai fokus $c^2=a^2 +b^2$, klimaks $(h,k\pm a)$, dan asimtotot $y=\pm (a/b)x$

Titik simetris hiperbola pada Teorema 6 yakni di titik (h,k).

2. Irisan Kerucut dalam Koordinat Polar

Pada kepingan ini kita berikan suatu pendekatan yang lebih terpadu untuk ketiga janis irisan kerucut menurut fokus dan direktriksnya. Agar diperoleh persamaan polar yang relatif sederhana, kita letakkan fokus dari irisan kerucut tersebut di titik asal.

Teorema7

Misalkan F yakni titik tetap (disebut fokus) dan l yakni garis tetap (disebut direktriks) pada suatu bidang datar. Misalkan e yakni bilangan positif tetap (disebut keeksentrikan atau eksentrisitas). Himpunan titik P pada bidang sedemikian rupa sehingga
$\frac{\left | PF \right |}{\left | Pl \right |}=e$,
yaitu rasio jarak dari P ke F terhadap jarak dari P ke l yakni konstanta e, yakni suatu irisan kerucut. Irisan kerucut tersebut merupakan:
1. Sebuah elips jikalau e < 1
2. Sebuah parabola jikalau e = 1
3. Sebuah hiperbola jikalau e > 1

Teorema 8

Persamaan polar yang terbentuk

1. $r=\frac{ed}{1\pm e\cos \theta }$
2. $r=\frac{ed}{1\pm e\sin \theta }$

menyatakan suatu irisan kerucut dengan fokus (atau salah satu fokusnya) di titik asal dan keeksentrikan e. Irisan kerucut tersebut adalah

1. Sebuah elips jikalau e < 1, 
2. Sebuah parabola ji e = 1 dan 
3. Sebuah hiperbola jikalau e > 1. 

Pada kasus 1 direktriksnya yakni garis $y=\pm d$, sedangkan pada kasus 2 direktriksnya yakni garis $y=\pm d$

Semoga Bermanfaat
Sumber http://easy-matematika.blogspot.com

Share this post