Rangkuman Bahan Kegiatan Linear (Menentukan Nilai Optimum)

Menentukan Nilai Optimum dari Fungsi  Tujuan

Metode grafik sanggup dipakai untuk menuntaskan duduk kasus aktivitas Linear   yang sederhana. Program Linear yang sederhana ialah aktivitas linear yang bentuk model matematikanya berbentuk sistem pertidaksamaan linear dua variabel dan fungsi linear dua variabel.

Nilai Optimum didapat dari nilai fungsi tujuan yang berupa nilai maksimum atau nilai minimum. cara untuk menyelesaikannya yaitu :

1. Metode uji titik pojok atau dengan mensubstitusikan koordinan titik-titik sudut dalam tempat penyelesaian terhadap fungsi tujuan.

2. metode garis selidik.



1. Menentukan Nilai Optimum Fungsi Tujuan dengan Metode Uji Titik Pojok

        Untuk memilih nilai optimum dari fungsi tujuan dengan metode uji titik pokok sanggup diselesaiakn dengan langkah-langkah berikut:

a. Membuat model matematika  dari duduk kasus aktivitas linear. Model matematika harus memuat fungsi tujuan (bentuknya fungsi linear dua variabel) dan permasalahannya (bentuknya pertidaksamaan linear dua variabel) yang harus dipenuhi.

b. Menggambar grafik himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Lalu memilih titik pojok pada grafik himpunan penyelesaian.

c. Menghitung nilai fungsi tujuan yang berupa f (x,y) = ax +by untuk masing masing titik pojok yang telah ditemukan.

d. Setelah menghitung dan hasil perhitungan dari nilai fungsi tujuan, maka nilai maksimum dan nilai minimun sanggup ditentukan.  Nilai x dan nilai y yang menimbulkan  fungsi tujuan mencapai nilai optimum juga sanggup ditentukan.

e. Mengartikan atau menerjemahkan nilai optimum fungsi tujuan yang diperoleh sebagai hasil tamat dari duduk kasus aktivitas linear.

Contoh :

Sebuah pabrik buku memproduksi buku A dan buku B. Dalam satu pabrik itu paling banyak memproduksi 1.000 buku. Dari pegawai diperoleh warta bahwa setiap hari terjual tidak lebih dari 800 buku A dan 600 buku B. Sedangkan laba yang diperoleh untuk jenis buku A ialah Rp 100,- dan untuk buku B ialah Rp 150,-. Berapakan laba maksimal yang sanggup diperoleh pabrik tersebut setiap harinya? Hitunglah berapa banyak buku A dan buku B yang diproduksi pabrik itu setiap harinya?

Jawab:

Misalkan Buku A = x dan Buku b = y.

Fungsi Tujuan : f (x,y) = 100x + 150 y

Fungsi Permasalahan :
 x≥0
 y≥0
 x≤800
 y≤600
 x+y≤1.000


Grafik Himpunan Penyelesaian

Gambar Grafik 

Titik pojok yang terletak pada grafik himpunan penyelesaian ialah titik  O (0,0), K(800,0) L(800,200) M(400,600) N(0,600).

Nilai Fungsi Tujuan

Titik Pojok (x,y) F (x,y) = 100x + 150y
O (0,0)                           0
K (800,0)                   80.000
L (800,200)                   110.00
M(400,600)                   130.000
N(0,600)                            90.000


Maka fungsi tujuan F (x,y) = 100x + 150y mencapai nilai maksimum sebesar Rp 130.000,- dan nilai maksimum dicapai pada titik M (400,600).

Maka dengan permasalahan yang dihadapi, pabrik buku sanggup mendapat kuntungan maksimal sebesar Rp 130.000,-. Keuntungan maksimum itu diperoleh bila dalam satu hari pabrik buku memproduksi buku A sebanyak 400 buku dan 600 buku B.


2. Menentukan Nilai Optimum Fungsi Tujuan dengan Garis Selidik

Jika hendak ditentukan nilai optimum darifungsi tujuan F (x,y) = ax + by pada tempat himpunna penyelesaian. Nilai optimum itu sanggup dihitung dengan mencari memakai garis selidik.

Garis selidik ialah garis yang kemungkinan atau diperkirakan berpotongan dengan garis lain yang mendekati nilai optimum dari suatu fungsi tujuna programlinear.

Garis selidik berbentuk ax + by = k ( k anggota R). Maka sanggup dibuat menjadi

Nilai Optimum suatu fungsi tujuan f (x,y) = ax +by sanggup ditentukan dengan memakai garis selidik
ax +by = k, ( k anggota R).
Pada tempat himpunan penyelesaian

Berikut langkah-langkah memilih nilai optimum fungsi tujuan dengan garis selidik pada aktivitas linear.
a. Menetapkan perssamaan garis selidik sebagai ax + by = k0. Pilih nilai k tertentu sehinggan garis gampang digambar

b. buat garis-garis yang sejajar dengan ax + by = k0.
Jika ax + by = k1 berada paling jauh dengan titik asal O (0, 0) dan melalui titik F (x1, y1)  dan terletak pada tempat himpunan penyelesaian maka sanggup disimpilkan: Titik F (x1,y1) merupakan titik yang menjadikan fungsi tujuan f (x,y) = ax + by mencapai nilai maksimum. nilai maksimumnya ax1 +by1 =k1.

Jika garis ax + by = k2 berada paling jauh dengan titik asal O (0, 0) dan melalui titik G(x2, y2)  dan terletak pada tempat himpunan penyelesaian maka sanggup disimpilkan: Titik G (x2,y2) merupakan titik yang menjadikan fungsi tujuan f (x,y) = ax + by mencapai nilai minimum. nilai minimumnya ax2 +by2 =k2.


Contoh :

Dengan memakai garis selidik, carilah nilai maksimum dari fungsi tujuan f (x,y)= 2x + 3y pada sistem pertidaksamaan lineardua variabel x≥0,  y≥0 dan x+y≤6, x dan y anggota R

Jawab :

Grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel x≥0,  y≥0 dan x+y≤6, x dan y anggota R, menyerupai gambar di bawah.

 

Karena fungsi tujuan f (x,y) = 2x T 3y maka persamaan garis selidiknya 2x + 3y =k. Garis selidik digambar dengan ilai k = 6 sehingga 2x + 3y =6

Garis yang sejajar dengan garis 2x +3y =6dan terletak paling jauh dari titik asal ialah F(0,6)

Maka titik F ( 0,6) ialah titik pada tempat penyelesaian yang menciptakan fungsi f (x,y) = 2x + 3y mencapai maksimum.
Dapat dihitungnilai maksimumnya ialah 2 (0) + 3 (6) = 18.


Cara Penyelesaian Program Linear

Langkah-langkah dalam menyelesaian aktivitas linear adalahs ebagai berikut :
Menentukan model matematika dari permasalahan yang muncul
Menggambar grafik dari setiap model matematika yang telah ditentukan.
Menentukan tempat penyelesaian dari aktivitas linear.
Menentukan nilai optimum ( nilai maksimum atau nilai minimun)


Contoh Soal Program Linear

Pemilik toko sandal akan mengisi tokonya dengan sandal pria dan sandal perempuan. Jika pemilik toko mengisi paling sedikit 100 pasang sandal, serta sandal wanita sanggup memuat 400 pasang. Jika laba setiap pasang sandal pria ialah Rp 1.000,- dan Rp 500,- laba yang diperoleh untuk setiap sepasang sandal perempuan. Namun, banyaknya sandal pria dilarang melebihi 150 pasang. Hitunglah laba masimum yang sanggup diperoleh pemilik sandal.

Jawab :

Misalnya sandal pria = x dan sandal wanita = y
 x+y≤400
100≤x≤150
 y≥150
 x≥0
 y≥0

Fungsi tujuan  z = 1000x + 500 y

Sketsa Grafik

Daerah yang diarsir ialah tempat penyelesaian K (100,150), L (150,150), M(150,250) N(100,300)
Nilai maksimum

z =1000x  + 500y
K (100,150) = 1000(100)  + 500 (150) = 175.000
L (150,150) =  1000(150)  + 500 (150) = 225.000
M(150,250) = 1000(150)  + 500 (250) = 275.000
N(100,300) = 1000(100)  + 500 (300) = 250.000

Kuntungan yang tersebsar diperoleh toko sandal ialah Rp 275.000 dicapai bila sandal laki-laki= Rp 150 pasang dan 250 pasang sandal perempuan.



Demikian ulasan terkait bahan Program Linear SMA, Semoga bermanfaat. Terimakasih
Sumber http://ngajimatematika.blogspot.com

Share this post